题目：广义Hilbert空间及$L^2(R)^n$上的多通道多分辨分析

多分辨分析(Multiresolution Analysis)是小波分析中的一个重要概念, 它给出了构造小波基的一般方法，该方法是1988年由Meyer和Mallat提出的, 并被众多学者作了深入地研究和推广.本文引入了广义Hilbert空间及$L^2(R)^n$上的多通道多分辨分析, 研究了它们的一系列重要性质. 全文共分三章:
第一章从一般的~Hilbert~空间出发, 引入并研究了广义Hilbert空间$h^{N imes M},$ 规定其中的内积是$N imes N$阶数量矩阵, 然后利用Hilbert $C^*$-模理论,
证明了它是一类可补的Hilbert $C^*$-模.
第二章首先引入了$L^2(R)^n$中的多通道多分辨分析的概念, 规定其中的尺度函数为$L^2(R)^{n imes n}$中的函数. 然后通过研究低通滤波器和带通滤波器的关系, 证明了每一个正交多分辨分析, 都能确定一个正交小波, 并且这里的正交小波也是$L^2(R)^{n imes n}$中的函数. 最后讨论了这种多分辨分析与多重小波的关系. 在由多分辨分析构造小波的过程中, 通过低通滤波器求解带通滤波器是关键的一步, 与其它文献中不同, 在不加任何限制的条件下, 本文利用算子论的方法证明了, 每一个矩阵形式的低通滤波器都可以确定一个矩阵形式的带通滤波器, 同时证明了从任意的低通滤波器出发, 都可以确定一个满足特定交换性的低通滤波器, 从而使得在考虑问题时, 只需要考虑具有交换性的低通滤波器即可.
第三章研究了在紧支撑的条件下, 由低通滤波器构造正交尺度函数的必要条件和充分条件, 并给出了具体的例子.