2018年浙江工业大学理学院667量子力学考研强化五套模拟题
● 摘要
一、综合题
1． 质量为m 的微观粒子由如下一维哈密顿量描述：常数。设【答案】设
为该粒子的本征基态，计算算符
哈密顿量可以表示为：
且有：因为
故：
则所求的期望值为：
2． 设t=0时氢原子处在态
（1）求体系能量的平均值。 （2）任意t 时刻波函数（3）任意t 时刻体系处在（4）任意t 时刻体系处在
态的几率。 态的几率。
其中
在该基态上的期望值。
为
【答案】氢原子定态能量和波函数为：
（1）体系能量的平均值为：（2）任意t 时刻波函数为：
（3） 任意t
时刻体系处在（4）任意（时刻体系处在
态的几率为1/5。 态的几率为1/2。
3． 粒子在势场能量
动量
^中运动，写出定态能量
轨道角动量
宇称.
并指出以下力学量中，哪些是守恒量：
【答案
】
4．
设
为
的能量本征值为
的非简并本征函数，如果
守恒量
有
可看作微扰。试写出
能级的微扰论修正公式（写到二级修正）。 【答案】一级近
似
5． 已知氢原子的基态波函数为
二级近
似
其
中
（1）求氢原子的最可几半径（即径向几率密度取最大值的r 值）。 （2）求氢原子的平均半径（即r 得平均值）。 【答案】（1）基态时，在
范围内测量到电子的概率为：
径向几率密度为：当大值，， 因此
为最可几半径。
（2）氢原子平均半径：
6． 设粒子处于某一状态，在该状态中测量力学量
问粒子处于什么状态？ 【答案】因为又因为
得到确定值
测量力学量
得到确定值
时，
也即
时，几率密度取极值。容易验证，
时几率密度取极
7． —量子系统某一个定态的跃迁几率为：
，[已知系统能量本征值和相应的本征函数假设系统在t=0时刻处于
跃迁到
并开始引入一个微弱的外场试证明系统在外场的作用下从定态
其中，
是系统从
能级跃迁到
能级的玻尔频率，
其中
【答案】体系的哈密顿算符为系统的薛定谔方程为：
令方程
的解为：
将
代入得：
上式两边左乘
并积分，利用正交性，并令
其中，
跃迁到
的几率为
欲求
于是有：
系统在微扰作用下，
由能级设微扰在
似情况下，将上式的
解得一级近似解为：
则需解方程
时开始引入，即系统的初始条件为
作为
在只考虑一级近似而略去二级以上近
代入式，于是可得：
分步积分得：
上式右边第一项代表微扰加入后定态的变化，第二项决定了微扰加入过程引起的跃迁，于是，跃迁几率为：
得证。