2018年浙江工业大学理学院667量子力学考研核心题库
● 摘要
一、综合题
1． 设一粒子在一维势场【答案】
中运动
求其定态能级和波函数。
体系的定态薛定谔方程为：
整理得：
令
则：
此为一维线性谐振子的定态薛定谔方程，其定态波函数为：
其中代入
其定态能级为
得系统的定态波函数与能级为：
2． 设一粒子在一有心势场中运动，试问守恒的量有哪几个。（不计自旋） 【答案】在有心势场中，哈密顿算符是：
而角动量符与对易。 又因为
都和对易，所以
，即也是守恒量。
只和有关，与r 无关。因此这些角动量算符与r
的函数对易。因此
都是守恒量。
而哈密顿不含所以
3． 设线性谐振子的哈密顿量用升算符与降算符a 表示为
与a 对
此体系受到微扰
的本征态
的作用为
：
的作用，求体系的能级到二级近似。已知
【答案】未受到微扰作用时，线谐振子的本征解为：
由产生与湮没算符的定义可知，对于
相应的本征态
有：
能量的一级修正为：能量的二级修正为：
近似到二级的能量为：
4． 证明，一维无奇性势的薛定谔方程的束缚态无简并。 【答案】设无奇性一维势有：
即
所以：
对束缚态有则有：
为同一本征态，故能级无简并。
所以
若对应同一能量
则由薛定谔方
5． 体系的三维空间是由三个相互正交的态矢
的矩阵形式如下：
和构成的，以其为基矢地两个算符
和
其中
为实常数。证明算符
是厄米特算符，并且两者相互对易，进而求出它们的共同
或者
题中所给出的哈密顿
本征函数。
【答案】由厄米特算符的定义知，厄米特算符因为：
算符和力学量算符皆为实对称矩阵，故它们都是厄米特算符。
而
设
满足的本征方程为：
由于是对角矩阵，所以，它的本征值就是其对角元，即：
其中当
所以有：
能量具有二度简并。由于简并的存在，仅由算符不能惟一确定时，波函数满足：
的波函数。
显然当
于是，
相应的波函数为时，波函数满足：
得到