2018年南开大学统计研究院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 对于组合数
（1）（2）（3）（4）（5）（6）
【答案】（1）等式两边用组合数公式展开即可得证. （2）因为
（3）因为
（4）因为
所以
（5）设计如下一个抽样模型:一批产品共有a+b个，其中a 个是不合格品，b 个是合格品，从中随机取出n 个，
则事件=“取出的n 个产品中有k 个不合格品”的概率为
由诸互不相容，且
得
把分母移至另一侧即得结论.
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，证明:
；
注:还有另一种证法:下述等式两端分别展开
可得
比较上式两端的系数即可得
（6）在（5）中令
，则得
再利用（1）的结果即可得证.
2． 证明:若
则对
有
并由此写出
与
其
中
【答案】由t 变量的结构知，t 变量可表示
为
且U 与V 独立，从而有
由于
将两者代回可知，在
时，若r 为奇数，则
若r 为偶数，则
证明完成. 进一步，当当
3． 设随机变量
【答案】
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时，（此时要求（此时要求
否则均值不存在）， 否则方差不存在）.
时，
，试证明:
4． 证明:对正态分布
，若只有一个观测值，则的最大似然估计不存在.
【答案】在只有一个观测值场合，对数似然函数为
该函数在
时趋于，这说明该函数没有最大值，或者说极大值无法实现，从而的最大
似然估计不存在.
5． 设总体概率函数是对
的任一估计
令
人们只需要考虑基于充分统计量的估计.
【答案】我们将均方误差作如下分解
注意到
，这说明
于是
因而
.
6． 设连续随机变量X 的密度函数为P(x),试证:P(x)关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶函数.
【答案】记X 的特征函数为为
这表明X 与从而X 与即数，
由于
的特征函数为
证明
则所以
也服从
从而
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是其样本，，证明
:
是的充分统计量，则
. 这说明，在均方误差准则下，
先证充分性. 若是实的偶函数，则又因
有相同的特征函数，
有相同的密度函数，而X 的密度函数为
则X 与
所以得
有相同的特征函
关于原点是对称的.
有相同的密度函数，所以X 与
故
再证必要性，若
是实的偶函数.
7． 设随机变量
【答案】若随机变量