2018年南开大学统计研究院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设X 为非负连续随机变量，若
（2）
存在，试证明:
【答案】（1）因为X 为非负连续随机变量，所以当x<0时，有F （x ）=0.公式得
（2）因为X 为非负连续随机变量，所以X 也是非负连续随机变量，因此利用（1）可得
令
，则
2． 设X 为非负连续随机变量，证明:对x ≥0,
有
【答案】设X 的密度函数为p （X ），则有
3．
设明:
由又因为故有
所以由马尔可夫大数定律知
服从大数定律.
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.
为独立同分布的随机变量序列，方差存在.
又设服从大数定律.
否则令
因为
并讨论
为绝对收敛级数.
令即可.
证
【答案】不妨设
知
为绝对收敛级数，可记
4． 设连续随机变量X 的密度函数P （x ）关于c 点是对称的，
证明：其分布函数F （X ）
有
【答案】由p （X ）关于C 点是对称的，知
由
对上式右端积分作变量变换再对上式右端积分作变量变换结论得证.
对称分布函数的这个性质可用图1表示:
，则
，则
图1
5． 设事件A ，B ，C 的概率都是
【答案】因为
上式移项即得结论.
6． 对于组合数
（1）（2）（3）（4）（5）（6）
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，且
，证明:
，证明:
；
【答案】（1）等式两边用组合数公式展开即可得证. （2）因为
（3）因为
（4）因为
所以
（5）设计如下一个抽样模型:一批产品共有a+b个，其中a 个是不合格品，b 个是合格品，从中随机取出n 个，
则事件=“取出的n 个产品中有k 个不合格品”的概率为
由诸互不相容，且
得
把分母移至另一侧即得结论.
注:还有另一种证法:下述等式两端分别展开
可得
比较上式两端的系数即可得
（6）在（5）中令
，则得
再利用（1）的结果即可得证.
7． 设二维随机变量（X ，Y ）的联合密度函数为p （x ，y ），证明:X 与Y 相互独立的充要条件是p X ，y ）（可分离变量，即
【答案】记X 与Y 的边际密度函数分别为独立，则
，即p （X ，y ）可分离变量，其中
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又问与边际密度函数有什么关系？
，必要性是显然的，因为X 与Y 相互
.
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