2017年上海师范大学数理学院892量子力学基础考研题库
● 摘要
一、填空题
1． 粒子在一维势阱中运动，波函数为
则
【答案】
2． 一粒子的波函数【答案】
则粒子位于
则
的跃变条件为_____
。若势阱改为势垒
间的几率为_____。
的跃变条件为_____。
3． 对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为_____，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为_____。 【答案】 4．
为氢原子的波函数（不考虑自旋），
中运动，其状态波函数
分别称为_____量子
数、_____量子数、_____量子数，它们的取值范分别为_____、_____、_____。 【答案】主；角；磁；
5． 一质量为的粒子在一维无限深方势阱为_____, 能级表达式为_____。 【答案】
6． —个电子运动的旋量波函数为
则表示电子自旋向上、位置在处
的几率密度表达式为_____，表本电子自旋向下的几率的表达式为_____。 【答案】
二、简答题
7． 放射性指的是束缚在某些原子核中的更小粒子有一定的概率逃逸出来，你认为这与什么量子效应有关？
【答案】与量子隧穿效应有关。
8． 写出电子自旋的二本征值和对应的本征态。 【答案】
9． 斯特恩—革拉赫实验证明了什么？ 【答案】（1）半整数内禀角动量在存在。 （2）空间量子化的事实。
（3）电子自旋磁矩需引入2倍关系。
10．什么是量子跃迁？什么是选择定则？线偏振光和圆偏振光照射下的选择定则有什么区别？ 【答案】量子跃迁是指在某种外界作用下，体系在不同的定态之间跃迁。
选择定则：从一个定态到另一个定态之间的跃迁概率是否为零，也即跃迁是否是禁戒的。 线偏振光选择定则：圆偏光选择定则：
11．试设计一实验，从实验角度证明电子具有自旋，并对可能观察到的现象作进一步讨论。 【答案】让电子通过一个均匀磁场，则电子在磁场方向上有上下两取向，再让电磁通过一非均匀磁场，则电子分为两束。
12．解释量子力学中的“简并”和“简并度”。
【答案】一个能级对应多个相互独立的能量本征函数的现象称为“简并”；一个能级对应的本征函数的数目称为“简并度”。
13．将描写的体系量子状态波函数乘上一个常数后，所描写的体系量子状态是否改变？ 【答案】不改变。根据
对波函数的统计解释，描写体系量子状态的波函数是概率波，由于
粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的概率总和等于1，因而粒子在空间各点出现概率只决定于波函 数在空间各点的相对强度。
14．量子力学中的可观测量算符为什么应为厄米算符？
【答案】实验上可以观测的力学量的平均值必须为实数，而体系在任何量子态下平均值为实数的算符必为厄米算符，因此这要求可观测量算符应为厄米算符。
三、计算题
15．设t=0
时刻氢原子处于
子哈密顿算符的正交归一化本征波函数. 求：（1） t=0时刻，体系能量（2）t=0时刻，体系角动量平方
的平均值. 的平均值.
状态，其中
是氢原
（3）t=0时刻，体系角动量x 分量的平均值.
（4）时刻，
体系所处的状态
【答案】（1）由题意可知n=2，
3
故t=0时，体系能量平均值为
（2）由题意知1=1，2则
的平均值为
（3）由关系式
另外，由正交归一条件有
故t=0时平均值为
（4）时刻体系所处的状态为