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一、填空题

1． —粒子的波函数为【答案】

写出粒子位于

间的几率的表达式_____。

2． 对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为_____，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为_____。 【答案】

3． 一粒子的波函数【答案】

则粒子位于间的几率为_____。

4． 二粒子体系，仅限于角动量涉及的自由度，有两种表象，分别为_____和_____; 它们的力学量完全集分别是_____和_____; 在两种表象中，各力学量共同的本征态分别是_____和_____。 【答案】耦合表象；非耦合表象

；

5． 称_____等固有性质_____的微观粒子为全同粒子。 【答案】质量；电荷；自旋；完全相同 6 用球坐标表示，．粒子波函数表为【答案】

写出粒子在球壳

中被测到的几率_____。

二、选择题

7． 已知体系的哈密顿算符为

下列算符

与对易的有_____。

【答案】

8． 如果算符表示力学量应的_____。

【答案】确定值；本征值

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那么当体系处于的本征态时，力学量F 有_____。这个值就是相

9． 中心力场中，算符的式子是（ ） A. B. C. D.

的共同征函数为

则关于这两个算符的本征值方程正确

【答案】C

10．角动量算符满足的对易关系为【答案】

_____，坐标和动量的对易关系是_____。

11．光子和电子的波长都为5.0埃，光子的动量与电子的动量之比是多少？（ ） A.1 B. C. D. 【答案】A

【解析】由德布罗意波长公式

12．如两力学量算符【答案】0

有共同本征函数完全系，则它们满足对易关系为

_____。

波长相同则二者动量大小必定相同，因此答案选A.

三、证明题

13．（1）对于任意的厄米算符，证明其本征值为实数. （2）证明厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交. （3）对于角动量算符

证明它是厄米算符，并且求解其本征方程.

因为存在

数

（2）证：因为而（3）因为

所以

即正交

具有周期性，

所以

即本征值为实

【答案】（1）证：对于厄米算符

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而

所以

设本征方程为

其中为本征值，上式可改写为

易解出即为厄米算符。

C 为积分常数，可由归一化条

件决定. 又因为波函数满足周期性边界条件的限制，

由此可得数记为

即为其本征函数. 相应的本征方程为

14．粒子自旋处于

的本征态

【答案】易知但是

（常数），

同理，可得

因此：

所以有：

试证明

的不确定关系

：

即角动量z 分量的本征值为

是量子化的，相应本征函

再利用归一化条件可得

四、计算题

15．设粒子从

入射，进入一维阶跃势场：当x ＜0时，如果粒子能量

（1）写出波动方程式并求解； （2）求透射系数；

（3）求反射系数并求与透射系数之和. 【答案】（1）粒子波动方程为

令

则方程的解为

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而当x ＞0时

，

试