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一、填空题

1． 在量子力学原理中. 体系的量子态用希尔伯特空间中的_____来描述. 而力学量用_____描述. 力学量算符必为_____算符，以保证其_____为实数.

【答案】函数矢量；张量（一般是二阶张量，即矩阵）；厄米；本征值

【解析】希尔伯特空间中的函数矢量对应体系的量子态，力学量对应张量，一般情况下力学量对应二阶张量，也就是矩阵. 力学量算符必须保证其厄米性，否则将导致测量值即其本征值不是实数，这显然不符合事实.

2． —粒子的波函数为【答案】

写出粒子位于间的几率的表达式_____。

3． 不确定关系是微观粒子_____性质的数学表述。

【答案】波粒二象性

4． 自旋为_____的微观粒子称为费米子，它们所组成的全同粒子体系的波函数具有_____, 自旋为_____的微观粒子称为玻色子，它们所组成的全同粒子体系的波函数具有_____。 【答案】的奇数倍；反对称变换 5．

的整数倍；对称变换

分别称为_____量子

为氢原子的波函数（不考虑自旋），

数、_____量子数、_____量子数，它们的取值范分别为_____、_____、_____。

【答案】主；角；磁；

6． （1）自由粒子被限制在x 和x+1处两个不可穿透壁之间，按照经典物理. 如果没有给出其他资料，则粒子在 x 和x+1/3之间的概率是_____. A.025 B.033 C.011 D.067

（2）上题中，按照量子力学. 处于最低能态的粒子在x 和x+1/3之间被找到的概率是_____. A.019 B.072 C.033 D.050

【答案】（1）B

【解析】按照经典力学，粒子处于空间的概率密度为常数，故概率与体积成正比，

即所求概率为

（2）A

【解析】取x 为原点，则有波函数为所求概率即

二、选择题

7． 已知体系的哈密顿算符为

下列算符

与对易的有_____。

【答案】

8． 一维自由电子被限制在x 和

处两个不可穿透壁之间

，埃，如果是电子最低能

态的能量，则电子的较高一级能态的能量是多少？（ ）

I 【答案】C

【解析】

一维无限深方势阱中能级公式为

由题意，基态能量为

9． 设粒子处于态系数的取值为_____【答案】

10．假定角动量平方算符的选择为（ ）

则可知，

较高级能量与基态能量比值为

则第一激发态能量为

为归一化波函数

的可能值为_____

的平均值为_____。

为归一化的球谐函数，则

的本征值分别为和如果则可能是本征值

【答案】C

11．下列算符 【答案】

12．中心力场中，算符的式子是（ ） A. B. C. D. 【答案】C

是线性算符的是_____。

的共同征函数为则关于这两个算符的本征值方程正确

三、证明题

13．设在电子的某自旋态中，测量自旋的x 分量和 >> 分量的平均值皆为零，则测电子自旋分量的平均值一定为

【答案】设在

或

证明这一点。

表象中，这自旋态的表示为：

则由自旋x 分量和; y 分量算符的表本为：

根据题给条件，有：

由此得：即：

或

要么自旋朝下

和

即都为自旋分量的本征态。在

这就意味着，此态要么是自旋朝上

这两个本征态中，

测量自旋分量的平无值分别为