2016年同济大学凝聚态物理综合考试理论物理综合之量子力学教程复试笔试最后押题五套卷
● 摘要
一、简答题
1． 电子在位置和自旋表象下，波函数【答案】
利用
的几率密度；
2． 将描写的体系量子状态波函数乘上一个常数后，所描写的体系量子状态是否改变？ 【答案】不改变。根据
对波函数的统计解释，描写体系量子状态的波函数是概率波，由于
粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的概率总和等于1，因而粒子在空间各点出现概率只决定于波函 数在空间各点的相对强度。
3． 厄米算符的本征值与本征矢
4． 已知为一个算符么正算符？
【答案】满足关系式（a ）的为厄密算符，满足关系式（b ）的为幺正算符。
满足如下的两式
问何为厄密算符？何为
分别具有什么性质？
【答案】本征值为实数，本征矢为正交、归一和完备的函数系。
表示粒子在
如何归一化？解释各项的几率意义。
进行归一化，其中
：
处
的几率密度。
表示粒子在
|
处
二、计算题
5． 对于一个限制在边长为L 的立方体中的自旋为1/2、质量为m 的粒子，计算基态与第二激发态的本征能量及相应的本征态波函数.
【答案】这是一个三维方势阱问题，例子波函数为
S 为自旋波函数. 可分离变量得
最终解得
代表例子自旋朝上和朝下两种状态.
由于粒子自旋此时并不会对粒子能量产生影响，故
粒子能量基态：对应波函数为：例子第一激发态能量：对应波函数有：
第二激发态能量：对应波函数有：
6． 对于角动量算符（b ）定义升降算符
利用对易关系
（a ）在直角坐标系中，推导各分量之间的对易关系，并归纳出统一的表达式.
证明：若f 是
的共同本征