题目：变截面杆的Timoshenko理论与指数杆的超声弯曲振动

本文首先从三维弹性力学的基本微分方程出发，采用必要的假设，推证了任意变截面杆的Timoshenko方程，并在推导过程中得出了oshenko方程的适用条件。然后采用精确解法，求出了用三角函数和双曲函数表示的等厚度矩形截面指数杆弯曲振动的解析解，并对六种经典边界条件分别求出了杆的频率方程和振型函数的精确表达式。为了便于分析和计算，给出了较为精确的频率方程的近似式和谐振长度的近似表达式，指出：直杆弯曲振动的初等理论方程及其它两种近似理论的方程均可在Timoshenko方程中令切变波的波数和纵波的波数为零或令其中的一个为零而得到，从而这些方程的解也可在Timoshenko方程的解中令相应的波数为零而获得。对于由矩形截面等截面杆和前述指数杆组成的复合杆，本文用行列式的形式给出了两端自由杆和悬臂杆频率方程的精确表达式。在进行了一定的数值计算和详细的理论分析之后，对若干常用尺寸的直杆进行了实验，测量出谐振频率和前三阶振型的振动节面的位置。用Timoshenko理论计算的结果与实验测量的结果基本吻合。最后，通过理论分析和实验测量说明：工程中常用的楔形直杆可用适当的同尺寸的指数杆来近似地进行理论分析和处理而并不失其精确性。