2016年暨南大学理工学院量子力学复试笔试仿真模拟题
● 摘要
一、简答题
1． 什么是隧道效应，并举例说明。
【答案】粒子的能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应，如金属电子冷发射和衰变现象都是隧道效应产生的。
2． 已知为一个算符么正算符？
【答案】满足关系式（a ）的为厄密算符，满足关系式（b ）的为幺正算符。
3． 波函数么？
【答案】波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是单值、有限和连续的。
4． 现有三种能级【答案】一维谐振子．
请分别指出他们对应的是哪些系统。
对应一维无限深势阱；
对应
表示在时刻附近
体积元中粒子出现的几率密度。
是用来描述什么的？它应该满足什么样的自然条件？
的物理含义是什
满足如下的两式
问何为厄密算符？何为
对应中心库仑势系统，例如氢原子；
二、计算题
5． 考虑自旋为的系统。 （1）试在而4、 5为实常数。
（2）假定此系统处于以上算符的一个本征态上，求测量得到结果为的概率。 【答案】（1）设设本征值为
有
则在
设
解得本征态为：
表象中
为归一化的本征态，
则由本征方程
表象中求算符
的本征值及归一化的本征态。其中
是角动量算符，
（2）在
表象中，
的本征态为
故发现
的概率为：
6． 对于角动量算符（b ）定义升降算符态，则
也是
利用对易关系
的本征态.
同理可得则
其
中
是
符号
，
的三个分量之间的关系通式为
：
（b ）
若f 是则
可见
是
和
的共同本征函数，本征值分别为
代入
的本征方程
得
的共同本征函数，可设
证明：若f 是
的共同本征
（a ）在直角坐标系中，推导各分量之间的对易关系，并归纳出统一的表达式.
（c ）在球坐标系中，求解的本征方程. 【答案】（a ）由
（c ）在球坐标中，
利用周期性边界条件由归一化条件可得
相应的本征方程为
7． 二电子体系中，
总自旋【答案】（
可得
则的本征态为
写出（）的归一化本征态（即自旋单态与三重态）。
）的归一化本征态记为则自旋单态为：