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一、简答题

1． 坐标分量算符与动量分量算符的对易关系是什么？并写出两者满足的测不准关系。 【答案】对易关系为

2． 什么是定态？若系统的波函数的形式为处于定态？

【答案】体系能量有确定的不随时间变化的状态叫定态，定态的概率密度和概率流密度均不随时间变化. 不是，体系能量有E 和-E 两个值，体系能量满足一定概率分布而并非确定值.

3． 现有三种能级【答案】一维谐振子．

4． 假设体系的哈密顿算符不显含时间，而且可以分为两部分：一部分是（非简并）和本征函数

已知：另一部分

很小，可以看作是加于

它的本征值

上的微扰. 写出在非简并

请分别指出他们对应的是哪些系统。

对应一维无限深势阱；

对应

问

是否

测不准关系为

对应中心库仑势系统，例如氢原子；

状态下考虑一级修正下的波函数的表达式? 及其包括了一级、二级能量的修正的能级表达式。 【答案】

一级修正波函数为二级近似能量为其中

二、计算题

5． 设一维谐振子的初态为（1）求t 时刻的波函数（3）求演化成

所需的最短时间

（2）求t 时刻处于基态及第一激发态的概率.

即基态与第一激发态叠加，其中为实参数.

【答案】（1） 一维谐振子定态能量和波函数：

任意时刻t 的波函数可表示为已知t = 0时刻的波函数是由

得，

在n=0，1的本征态的相应能量分别为：则任意时刻t 的波函数可以表示为

（2）t 时刻处于基态的几率为（3）设

时刻粒子的波函数是

处于第一激发态的几率

即

可得

所以当n=l时有最小时间，即 6． 给定

方向的单位矢量：

而为Pauli 矩阵算符，定义算符（1）计算在（2）设在

为

【答案】（1）

表象中：

设

本征值为

本征函数为

则:

解得：

表象中的本征态：

计算在该态上测量

所得的可能测量值及相应几率。

的本征值和本征函数。

解得