2018年华中农业大学园艺林学学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
已知矩阵
可逆矩阵P ，使
和
若不相似则说明理由.
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A
的特征值是
由矩阵B 的特征多项式
得到矩阵B
的特征值也是
当
时，由秩
知
A 可以相似对角化.
而
有2个线性无关的解，
即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵
时矩阵B 只有1个线性无
只有1个线性无关的解，即
关的特征向量，矩阵B 不能相似对角化. 因此矩阵A 和B 不相似.
2．
已知矩阵可逆矩阵P ，使
和
若不相似则说明理由。
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A
的特征值是当
时，由秩
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知
有2个线性无关的解，即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵
A 可以相似对角化，因此矩阵A 和B 不相似。
3． 设A
为
矩阵
且有唯一解. 证明：
矩阵
的解为【答案】
由
利用反证法，
假设以有
解矛盾，故假设不成立，
则
由
.
得
有
4．
已知三元二次型
（Ⅰ）用正交变换把此二次型化为标准形，并写出所用正交变换； （Ⅱ）若A+kE:五正定，求k 的取值. 【答案】（Ⅰ）因为A 各行元素之和均为0,
即值
，
由征向量.
因为
是
的特征向量.
有惟一解知
则方程组
. 即
即
可逆.
为A 的转置矩阵）.
易知
于是方程组
为可逆矩阵，
且方程组
只有零解.
使
.
所
只有零
有非零解，即存在
有非零解，这与
其矩阵A 各行元素之和均为0, 且满足
其中
，由此可知是A 的特征
可知-1是A 的特征值
，不正交，将其正交化有
是1的线性无关的特
再单位化，可得
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那么令
则有
（Ⅱ）因为A 的特征值为-1, -1, 0, 所以A+kE的特征值为k-l , k-1，k , 由A+kE正定知其特征值都大于0,
得
二、计算题
5．
设
是非齐次线性方程组AX=B的一个解
，
线性无关；
线性无关.
用矩阵A 左乘上式两边，并注意题设条件，得
但
，
由上式知
，于是，（1）式成为
因向量组于是
（2）设有关系式
也即
由（1），
向量组
，于是
6． 利用逆矩阵解下列线性方程组：
线性无关，
故
，并且
也等于0, 故所给向量组线性无关.
是对应齐次方程的基础解系，从而线性无关，
，
由定义知
线性无关.
是对应的齐次线性方程组的一个基
础解系，证明
（1
）（2
）
【答案】（1）设有关系式
【答案】将方程组写作矩阵形式Ax=b, 这里，A 为系数矩阵，为常数矩阵.
为未知数矩阵，b
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