题目：亏格为三及四的膜泡对称性分析

在浓度低的水（或油）溶液中磷脂双亲分子会自发形成闭合或双层膜泡，是由于双亲分子是一个亲水的极性头部和两条疏水的碳氢链构成的，疏水的尾端尽量避免与水接触，因而会形成双层的闭合膜泡。为了解释红血球的双凹盘形状和提出了膜泡形状的曲率模型。在这个曲率模型中，膜泡结构是由表面的弯曲能决定的，并不是由表面张力决定的，由于相应的欧拉-拉格朗日方程高度非线性，该曲率模型在理论上计算出大量的膜泡形状。这些结果与实验符合的很好，这说明该模型有合理的内核。虽然还有一些问题没有解决，对该模型进行深入的研究是有意义的。
膜泡的拓扑结构用亏格g表示，g的数值是根据在球面粘贴的“柄”的数目或者贯穿球面的“洞”的数目来确定。对于亏格为0的球形拓扑和亏格为1的环形拓扑，理论和实验已进行了较深入的研究。对于亏格为2的膜泡，人们对问题和曲面做了详细讨论，给出了区域内的稳定区间，后来等人也尝试其他方法得到实验上已经发现的形状，等人粗略的得到了区域外的稳定区间。
近年来人们在类脂双层及表面活化剂中发现很多复杂的结构，有些具有较高的拓扑结构。本文尝试用直接极小化方法在SC模型下研究具有较高对称性的亏格为3和4的形状进行较系统的研究。
对亏格为3的膜泡，我们得到的主要结论有：
1. 存在具有对称性的亏格为3的稳定膜泡，并给出了它在SC模型下的稳定区间。
2. 对称性的形状在较小的扰动下会演化到具有对称性的三角盘形膜泡，我们对该演化过程进行了探讨，进而对对称性的三角盘形膜泡的稳定区间进行了详细研究。我们发现对称性的三角盘形膜泡有较宽的稳定区间。
3.对称性的膜泡还可能演化到具有对称性的椭圆盘形膜泡。这种膜泡也是很稳定的。
4.比较这三种形状的曲率能， 我们发现对称性形状的能量较高，它是亚稳态，而对称性盘形膜泡和对称性盘形膜泡的能量比较接近，它们都是很稳定的。
对亏格为4的膜泡，我们得到的主要结论有：
1. 得到了较稳定的对称性的五环形状,它能在长时间演化后保持稳定。但小的扰动会使它向对称性大字形膜泡演化。
2. 较稳定的对称性大字形膜泡也得到了。但小的扰动会使它向盘形膜泡演化。
3. 盘形形状非常稳定。
4. 我们得到的这些形状也是BC模型下膜泡的解，它们可以作为在BC模型下进行计算的初始形状。