● 摘要
现实世界中充满了不确定性, 其具体表现形式多种多样, 主要包括随机性、模糊性、含糊性、不精确性和粗糙性. 事实上, 我们日常生活中用到的大多数概念都不是绝对精确的. 近年来, 来自数学、量子物理、计算机科学、信息科学、决策分析和人工智能等不同领域的众多研究者对不确定性的建模与操控愈发显现出浓厚的兴趣. 在处理不确定性时, 建立在经典集合和布尔逻辑基础上的传统数学工具在许多情况下不再适用, 忽略概念和信息内蕴的不确定性而简单地采用传统方法处理问题, 有时将推出令人无法接受的谬论.
为了解决经典数学理论处理不确定性时存在的一些困难, 美国控制论专家Zadeh教授在1965年提出了模糊集理论, 建立了分析处理以模糊性为主要表征的不确定现象的形式化方法, 并渗透到几乎所有的数学分支中, 对经典集合的概念作了有益的推广. 模糊集利用隶属函数反映元素对集合从属关系的不确定性, 体现了一种程度化思想. 1982年波兰学数学家Pawlak教授提出了粗糙集理论. 粗糙集利用不可区分关系导出由等价类构成的上下近似, 反映元素对集合从属关系的不确定性, 体现了一种粒度化思想. 为了建立更一般的描述和处理不确定性的理论框架, 俄罗斯科学院的Molodtsov教授在1999年提出了软集理论. 软集是由参数集及其到论域的幂集上的一个集值映射构成的二元组. 软集中每个参数对应的子集称为近似集, 表示对不确定概念的某种近似描述, 所有近似集自然地形成了论域的一种粒化结构. 软集理论认为不确定性导致从不同的方面去描述同一复杂事物时往往会得到若干不同的侧面, 将各个侧面综合为整体方能得到比较全面的描述, 体现了一种参数化思想.
软集理论作为一个新兴的交叉研究方向, 吸引了国际上众多研究者的关注, 许多出色的研究工作正在不断涌现.鉴于Molodtsov教授开创软集理论的基本出发点是希望获得研究不确定性的一般构架和有效工具, 本文深入研究软集的基础理论, 并重点探讨软集、模糊集和粗糙集等不确定理论的有效融合. 具体而言, 本文的主要工作包括以下几个方面:
(1) 对文献中已有的几种软子集定义进行深入地分析, 提出了软$L$-子集的概念, 填补了软$M$-子集和软$J$-子集两者之间的空缺, 给出了各种软子集及其诱导的软相等关系的一些刻画, 明确了各种软子集及其诱导的软相等关系之间的内在联系.
(2) 系统研究了软集的各种运算及其相关性质. 将软集的运算分为两大类, 分别称为Molodtsov积运算和集论运算. 在Molodtsov积运算研究方面, 引入了左非与、左非或、与非积、或非积等新的运算定义, 重点研究了软集的与积和或积运算, 得到了许多与经典集或模糊集不同的代数性质. 例如, 我们指出软集的与积和或积运算不满足经典意义下的交换律和结合律, 但这些性质在软$L$-相等关系意义下成立. 而即使在最弱的软$J$-相等的意义下, 这两种运算之间的分配律仍不成立. 对于软集的集论运算, 本章中比较系统地讨论了一般论域上的软集类$mathscr{S}^E(U)$和$mathscr{S}_A(U)$关于扩展并、扩展交、限制并以及限制交等运算所构成的一些代数系统和序代数结构, 如独异点、半环、反半环、准半环、分配格、序半群、半格序半群以及序半环等.
(3) 深入讨论了软集与模糊集的融合. 引入典范层软集, 充当联系软集和模糊集的重要纽带, 指出经典模糊集可以等同于其典范层软集, 而且模糊集的所有基本运算均可用套软集的相应运算直接模拟, 建立了套软集的商代数与模糊集代数之间的同构. 我们发现虽然忽略运算时软集可以形式化地理解为格值模糊集, 但软集的大部分运算均无法简单有效地用格值模糊集的基本运算实现. 此外, 我们利用阈值模糊集与模糊软集的数积等概念建立了模糊软集的一些分解定理, 并引入格值模糊软集的概念, 将文献中已有的多种软计算模型纳入了统一的框架.
(4) 详细研究了软集与粗糙集的融合. 揭示了软集、信息系统和粗糙集之间紧密的联系, 指出由软集可以诱导出二值信息系统, 并由此研究粗糙近似算子和Pawlak粗糙集, 而Pawlak粗糙近似算子和粗糙集都可视为特殊的软集. 基于经典的Pawlak近似空间研究了软集的粗糙近似问题, 提出了粗糙软集的概念, 并通过典范层软集证明Dubois和Prade的粗糙模糊集可以视为粗糙软集的特例. 进一步引入了软近似空间, 利用软集对论域粒度化, 定义了软粗近似算子和软粗糙集的概念, 并证明当软近似空间中的软集是划分软集时, 相应的软粗近似算子转化为Pawlak近似算子. 最后, 结合程度化思想进一步将粗糙软集推广为粗糙模糊软集, 并且考虑了模糊集的软粗近似问题, 提出了软粗糙模糊集等广义软计算混合模型.