2018年重庆师范大学数学科学学院830线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 设三阶方阵A 、B
满足式
的值.
其中E 为三阶单位矩阵.
若
求行列
【答案】
由矩阵
知则
. 可
逆.
又
故
即
所以
即
而
故 2．
已知通解是
.
, 证明
【答案】
由解的结构知
是4阶矩阵，其中
是齐次方程组
故秩
是4维列向量. 若齐次方程组Ax=0的的基础解系.
又由
得
因
与
可知综上可知
，
有
即故
都是
的解.
由
线性无关.
由
是
得的基础解系.
那么
3． 已知A 是3阶矩阵
，
是3维线性无关列向量，且
（Ⅰ）写出与A 相似的矩阵B ; （Ⅱ）求A 的特征值和特征向量：
（Ⅲ）求秩
【答案】（Ⅰ）由于
令
记
因
则有
线性无关，故P 可逆.
即A 与B 相似.
（Ⅱ
）由
A 的特征值为-1, -1，-1.
对于矩阵B ，
由
得
所以
可知矩阵B 的特征值为-1, -1，-1, 故矩阵
得特征向量
那么由：
即
是A 的特征向量，于是A 属于特征值-1
的所有特征向量是
全为0.
（Ⅲ
）由
4．
已知
，求
知
故
芄中
不
【答案】
令
则且有
1
所以
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二、计算题
5． 求下列矩阵的逆阵：
【答案】⑴将
A
分块为
均可逆. 于是由分块对角矩阵的性质
，有
艽中因故它们
⑵记因
其中
故B , C 均是可逆阵. 得
由
得
6． 证明二次型
【答案】设
又
另一方面，取
在时的最大值为矩阵
A 的最大特征值
.
为A 的
n 个特征值，则有正交变换x=Qy，使
即
为第1个分量是1的单位坐标向量，再令
则
并且二次型f 在处的值为