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一、计算题

1． 拉、压刚度为EA 的等截面直杆，上端固定、下端与刚性支承面之间留有空隙Δ，在中间截面B 处承受轴向力F 作用，如图所示。杆材料为线弹性，

当为:

，试分析其错误的原因，并证明

时，下端支承面的反力

于是，力F 作用点的铅垂位移为:从而得外力F 所作的功为:而杆的应变能为:

结果，杆的应变能不等于外力所作的功

图

【答案】由于在杆件C 截面与下端刚性支撑面接触前后，B 截面位移与力F 的线性关系不同，故计算力F 做功应分两个过程: 接触前:轴力接触后：轴力故F 做功:

所以W=Vε。

，在F 1作用下，B 端位移

，

，在F 2作用下，B 截面位移

2． 一长度为l 、边长为a 的正方形截面轴，承受扭转外力偶矩M e ，如图所示。材料的切变模量为G 。试求:

（l ）轴内最大正应力的作用点、截面方位及数值。 （2）轴的最大相对扭转角。

图

【答案】正方形截面轴的h/b=1，查表可得系数:α=0.208，β=0.141。 则该杆的抗扭截面系数:截面极惯性矩

（l ）横截面边长中点处有最大切应力

在该点的纯剪切单元体45°方位有最大正应力

（2）最大相对扭转角为

3． 材料为线弹性，弯曲刚度为EI ，扭转刚度为Gl p 的各圆截面曲杆及其承载情况分别如图1所示。不计轴力和剪力的影响，试用卡氏第二定理求各曲杆截面A 的水平位移、铅垂位移及转角。

图1

【答案】（l ）为求截面A 的位移和转角，在截面A 处虚设水平集中力F x 和集中力偶M A 。如图2（a ）所示。

图2（a ）

①求截面A 铅垂位移

在原载荷F 作用下，任一截面上的弯矩方程及其偏导数:

根据卡氏第二定理得到截面A 铅垂位移:

②求截面A 水平位移

在载荷F 和F x 作用下的弯矩方程及其偏导数:

根据卡氏第二定理得到截面A 水平位移:

③求截面A 转角

在载荷F 和材A 作用下的弯矩方程及其偏导数:

根据卡氏第二定理得到截面转角:

（2）为求截面A 的位移和转角，在截面A 处虚设水平集中力x l 、竖直方向上的集中力X 2和集中力偶X 3，如图2（b ）所示。

图2（b ）

①求截面A 水平位移