● 摘要
种群生态学是生物数学的重要研究内容, 主要研究种群内部的变化规律、种群与
种群之间的相互作用以及种群与周围生存空间的相互影响. 通过研究这些内容以便了解种群衰落和灭绝
的主要原因, 从而更合理的控制种群生长. 捕食者和食饵之间的关系是种群生态学
的重要研究课题. 本文研究一类捕食-食饵模型的共存问题, 运用非线
性泛函分析理论、分歧理论和反应扩散方程的相关理论, 得到捕食者和食饵共存的充分性条件.
主要讨论一类带有~Beddington-DeAngelis 型功能反应函数的捕食-食饵模型
egin{eqnarray*}
left{
egin{array}{ll}
u_{t}-Delta u=ru(1-frac{u}{k})-frac{alpha uv}{a+bu+cv}-q_{1}meu, & xin Omega ,~tin (0, infty),\
v_{t}-Delta v=sv(1-frac{v}{l})+frac{eta uv}{a+bu+cv}-q_{2}mev, & xin Omega ,~tin (0, infty).\
end{array}
ight.
end{eqnarray*}
第一章在 ~Dirichlet 边界条件下对种群的共存性进行研究, 第二章在 ~Neumann 边界条件下, 讨论不带有收获项的模型的种群共存性.
第一章讨论在~Dirichlet 边界条件下, 捕食者的出生率对系统正平衡解的影响. 首先, 通过运用非线性泛函分析相关理论和局部分歧定理, 以捕食者的出生率为分歧参数, 研究其从半平凡解发出的局部分歧解的存在性与唯一性, 再结合分歧理论的相关知识, 对分歧解的局部渐近稳定性进行分析. 其次, 利用~Gauss-Green 公式、~Poincar'{e} 不等式以及上下解方法对系统的正平衡解给出先验估计, 再通过正解的先验估计, 运用全局分歧定理, 将系统由半平凡解处发出的分歧分支延拓为全局分歧, 得到系统非常数正解存在的充分条件.
第二章在~Neumann 边界条件下, 对不带有收获项的模型的长时行为和稳定性进行研究. 第一部分研究系统的长时行为, 主要包括全局吸引子和一致持续性. 首先, 通过研究全局吸引子, 得到系统的任意非负解都存在于某个有界区域内, 即系统非负解的全局存在性. 其次, 研究系统的一致持续性, 得到系统正解存在的充分条件, 即物种共存的条件. 第二部分对系统唯一常数正解的稳定性进行分析. 首先给出系统存在唯一常数正解的充分条件, 在此条件下, 通过运用反应扩散方程的相关理论, 对系统常数正解的局部渐近稳定性进行分析, 再通过构造~Lyapunov 函数, 对系统常数正解的全局渐近稳定性进行讨论, 得到系统非常数正解不存在的充分条件.