题目：两类具有时滞的单种群模型的分支分析

 种群生态学因其发展成熟且具有较强的现实背景及意义备受学者青睐,其复杂的动力学行为给生态学者提供了更大的研究空间和新的解决问题的方法.
单种群模型在生物学的各个领域都具有广泛的应用研究,时滞的引入往往使稳定的种群数量变为不稳定或出现周期波动现象从而改变种群模型的稳定性态. 因此,本文讨论了一类具有时滞和分段常数变量的单种群模型和一类具有时滞的反馈控制差分模型正平衡态的存在性、局部渐近稳定性及分支问题.
    在生态模型中,密度制约的变化形式往往是错综复杂的.由于气候、人类活动、种群自身的季节性繁殖等因素不可避免地对种群的发展产生影响,在一定区域或
一定时间内种群数量变化呈现间断性.因此,具有分段常数变量的模型更好地体现了种群发展的生物背景.本文在第二章讨论了具有时滞和分段常数变量的比率型密度制约
单种群模型~$frac{mathrm{d}x}{mathrm{d}t}=rx([n-m])frac{1-ax([n-m])}{1+cx([n-m])}$,针对时滞 ~$m$~ 的不同取值对模型的稳定性和分支进行分析.利用Jury判据和特征值理论分析得到正平衡态局部渐近稳定的充分条件;选取模型中的内禀增长率~$r$~ 为分支参数,基于分支理论和中心流形定理给出并分析了Flip及N-S分支的存在性条件、规范型、稳定性及方向;通过计算机仿真表明定理条件的可实现性与结论的正确性.
   在种群生存环境中,反馈控制是制约种群数量增长的重要因素,对反馈控制的研究具有较强的现实意义,在保护种群多样性扩大经济利益及拯救频临灭绝的物种方面反
馈控制的作用不容忽视.考虑到控制与外界干扰,且离散模型比连续模型更能反映出问题的实质,本文在第三章给出了如下具有时滞的中立型反馈控制差分模型:
egin{equation*}
left{
egin{array}{ll}
Delta x(n) =x(n+1)-x(n)\
= rx(n)[1-a_{2}x(n)-b(x(n- au+1)-x(n- au))-cu(n)]\
Delta u(n)=u(n+1)-u(n)=-a_{1}u(n)+b_{1}x(n)
end{array}
ight.
end{equation*}
利用第二章的 利用第二章的分析方法讨论了该模型的平衡态的稳定性及分支问题,通过数值模拟作图验证了理论分析的可行性.
分析方法讨论了该模型的平衡态的稳定性及分支问题,通过数值模拟作图验证了理论分析的可行性.