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一、解答题

1．

设矩阵.

【答案】

求A 的特征值，并讨论A 是否可对角化? 若A 可对角化，则写出其对角

于是A 的3

个特征值为（Ⅰ）当

且

时，A 有3个不同特征值，故4可对角化，且可对角化为

（Ⅱ）当a=0时

，

此时A 有二重特征值1，

仅对

应1个线性无关的特征向量，故此时A 不可对角化.

（Ⅲ）

当

时

，

此时

A

有二重特征

值

而

仅对应1个线性无关的特征向量，故此时A 不可对角化.

2． 设A

为

的解为【答案】

由

矩阵

且有唯一解. 证明：

矩阵为A 的转置矩阵）.

易知

为可逆矩阵，

且方程组

只有零解.

使

.

所

只有零

有惟一解知

则方程组

. 即

即有

矩阵，齐次方程组

可逆.

利用反证法，

假设以有

解矛盾，故假设不成立，

则

由

.

3． 已知A

是

得

有非零解，即存在

于是方程组

有非零解，这与

的基础解系是

与

有非零公共解，求a 的值并求公共解.

知

的解.

对

贝腕阵

又知齐

次方程组Bx=0

的基础解系是

（Ⅰ）求矩阵A ;

（Ⅱ

）如果齐次线性方程组

【答案】（1

）记

A

的行向量）是齐次线性方程组

由

的列向量（即矩阵

作初等行变换，有

得到

所以矩阵

的基础解系为

（Ⅱ）设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0

的非零公共解为由

对

线性表出，

故可设

作初等行变换，有

于是

则既可由

线性表出，也可

不全为

当a=0时，

解出

因此，Ax=0与Bx=0

的公共解为

其中t 为任意常数.

4．

已知

二次型的秩为

2.

求实数a 的值；

求正交变换x=Qy使得f 化为标准型.

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【答案】

⑴由可得

，

则矩阵

解得B

矩阵的特征值为：

当

时，

解

得对应的特征向量为

当时，解得对应的特征向量为

对于解得对应的特征向量为：

将单位转化为

：

. 令X=Qy,

则

二、计算题

5．

设

【

，（k 为正整数），证明E-A 可逆，

并且其逆矩阵

答

案

】

则知E-A 可逆，且其逆矩阵

6． 下列矩阵是不是正交矩阵? 并说明理由：

由

【答案】（1）不是，因第1个列向量不是单位向量；

（2）是，因为此矩阵的3个列向量构成规范正交基，即它们两两正交，并且都是单位向量.