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一、填空题

1．

为氢原子的波函数（不考虑自旋），

分别称为_____量子

数、_____量子数、_____量子数，它们的取值范分别为_____、_____、_____。

【答案】主；角；磁；

2． 对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为_____，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为_____。

【答案】

3． 力学量算符必须是_____算符，以保证它的本征值为_____. 【答案】厄米；实数

【解析】力学量的测量值必须为实数，即力学量算符的本征值必须为实数，而厄米算符的本征值为实数，于是量子力学中就有了一条基本假设——量子力学中所有力学量算符都是厄米算符.

4． 玻恩关于波函数统计解释的基本论点是_____。

【答案】物质的本源是粒子；波动性是指微观粒子处于某一物理量值的统计几率

5． 一质量为的粒子在一维无限深方势阱为_____, 能级表达式为_____。 【答案】

6． 称_____等固有性质_____的微观粒子为全同粒子。 【答案】质量；电荷；自旋；完全相同

中运动，其状态波函数

二、选择题

7． 量子力学中的力学量用_____算符来表示，量子力学中的力学量算符的矩阵是_____矩阵。 【答案】厄米；厄米

8． 如两力学量算符【答案】0

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有共同本征函数完全系，则它们满足对易关系为_____。

9． —维问题中的哈密顿量为

【答案】C

10．中心力场中，算符的式子是（ ） A. B. C. D.

【答案】C

11．角动量算符满足的对易关系为【答案】 12．【答案】

_____

_____。

哈密顿与坐标的对易式（ ）。

的共同征函数为则关于这两个算符的本征值方程正确

_____，坐标和动量的对易关系是_____。

三、证明题

13．设力学量A 不显含时间t ，证明在束缚定态下，【答案】设束缚定态为

即有：

因A 不显含时间t , 所以

因而有：

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14．试证明，表象经么正变换后，不改变算符本征值。 【答案】设可得：

（其中

为幺正变换，则:

）

可见，本征值不变。

四、计算题

15．设无外势场时，质量为能量为E ＞0的粒子的状态用球面波描写. 试 （1）导出决定S 波（1=0）波函数的常微分方程； （2）求出所有S 波的球面波波函数；

（3）计算对应于S 波解的速度流矢量并作出图示.[南京大学2009研] 【答案】（1）无外势场可看做有心势场的特殊情况. 则粒子在球坐标系中薛定谔方程为

在s 波情况下，令则（2）

故对应波函数为

其中A 为归一化系数. （3）概率概率流密度公式为球坐标系中

明显与角度无关，故对应概率流密度的三个分量为

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