2017年北京市培养单位中丹学院811量子力学考研题库
● 摘要
一、填空题
1． —个电子运动的旋量波函数为
则表示电子自旋向上、位置在处
的几率密度表达式为_____，表本电子自旋向下的几率的表达式为_____。 【答案】
2． 力学量算符必须是_____算符，以保证它的本征值为_____. 【答案】厄米；实数
【解析】力学量的测量值必须为实数，即力学量算符的本征值必须为实数，而厄米算符的本征值为实数，于是量子力学中就有了一条基本假设——量子力学中所有力学量算符都是厄米算符.
3． 不确定关系是微观粒子_____性质的数学表述。 【答案】波粒二象性
4． 称_____等固有性质_____的微观粒子为全同粒子。
【答案】质量；电荷；自旋；完全相同
5． 二粒子体系，仅限于角动量涉及的自由度，有两种表象，分别为_____和_____; 它们的力学量完全集分别是_____和_____; 在两种表象中，各力学量共同的本征态分别是_____和_____。 【答案】耦合表象；非耦合表象
；
6． 一质量为的粒子在一维无限深方势阱为_____, 能级表达式为_____。 【答案】
中运动，其状态波函数
二、选择题
7． 量子力学中的力学量用_____算符来表示，量子力学中的力学量算符的矩阵是_____矩阵。 【答案】厄米；厄米
8． 下列算符【答案】
是线性算符的是_____。
9．
_____
_____。
【答案】
10．类氢原子问题中，设原子核带正电核为现几率最大的径向坐标位置是（ ）。 A. B. C. D. E. 【答案】B
11．如果算符表示力学量那么当体系处于应的_____。
【答案】确定值；本征值 12．【答案】
_____
_____
_____
_____
_____。
为原子的波尔半径，对处于基态的电子，其出
的本征态时，力学量F 有_____。这个值就是相
三、证明题
13．试证明，表象经么正变换后，不改变算符本征值。 【答案】设可得：
（其中
为幺正变换，则:
）
可见，本征值不变。
14．设在电子的某自旋态中，测量自旋的x 分量和 >> 分量的平均值皆为零，则测电子自旋分量的平均值一定为
【答案】设在
或
证明这一点。
表象中，这自旋态的表示为：
则由自旋x 分量和; y 分量算符的表本为：
根据题给条件，有：
由此得：即：
或
这就意味着，此态要么是自旋朝上要么自旋朝下
和
即都为自旋分量的本征态。在
这两个本征态中，
测量自旋分量的平无值分别为
四、计算题
15．设质量为m 的粒子处于势场的本征波函数
也属于正幂次级数，故有定态方程
式中：
则I 式可以化为：令
上方程可化简为
式解得
则
中，K 为非零常数. 在动量表象中求与能量E 对应
【答案】显然势场不含时，属于一维定态问题，而
其中C 为归一化常数。
其中，为自的解为：
16．设在平行于y 轴的磁场中，一个电子的哈密顿为旋算符，在t=0时刻，电子处在【答案】粒子的哈密顿量
本征值为
因此定态方程
的本征态，求以后t 时刻电子所处状态的表示式。
t 时刻，电子波函数满足：
因为
故：
所以：