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一、简答题

1． 写出由两个自旋态矢构成的总自旋为0的态矢和自旋为1的态矢。 【答案】总自旋为0:总自旋为1:

2． 电子在位置和自旋表象下，波函数【答案】

利用

的几率密度；

表示粒子在

如何归一化？解释各项的几率意义。

进行归一化，其中

：

处

的几率密度。

表示粒子在

|

处

二、计算题

3． 设

为氢原子束缚态能量本征函数（已归一），考虑自旋后，

某态表示为

在该态下计算（结果应尽量化简）：

（1）在薄球壳（2）在薄球壳（3）

内找到粒子的几率。 内找到粒子且自旋沿

的几率。

为总角动量，计算在该态下的平均值。

在薄球壳

内找到粒子的概率

【答案】（1）由题意可得：为：

（2）在薄球壳内找到粒子且自旋沿+x的几率可表示 为：

故：

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已知在本征态表象下

因此有：

（3）在

下的平均值为：

4． 设基态氢原子处于弱电场中，微扰哈密顿量为（1）求很长时间后已知，基态

电子跃迁到激发态的概率.

（2）基态电子跃迁到下列哪个激发态的概率等于零? 简述理由

.

【答案】（1）根据跃迁几率公式

其中

可知，必须先求得

终态量子数必须是

到末态

的跃迁矩阵元为

将

代入跃迁几率公式

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其中 T 为常数。

已知，a 基态其中为玻耳半径.

根据题意知，氢原子在t>0时所受微扰为：氢原子初态波函数为：根据选择定则记由初态

（2）基态电子跃迁到

的几率均为0, 因为不符合跃迁的选择定则

5． 求电荷为q 的一维谐振子在外加均匀电场E 中的能级，

哈密顿量为

【答案】记常数，且x ，p 换为

则哈密顿量可时的哈密顿量

对易关系不变，而这不影响原有的能级，所以

6． 设粒子从

相比，相差一

入射，进入一维阶跃势场：当x ＜0时，如果粒子能量

试

而当x ＞0时

，

（1）写出波动方程式并求解； （2）求透射系数；

（3）求反射系数并求与透射系数之和. 【答案】（1）粒子波动方程为

令

则方程的解为

其中第一部分为入射波，第二部分为反射波

.

此即透射波函数.

由波函数连续及波函数导数连续有

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