2018年上海市培养单位上海光学精密机械研究所811量子力学考研强化五套模拟题
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2018年上海市培养单位上海光学精密机械研究所811量子力学考研强化五套模拟题（一） ... 2 2018年上海市培养单位上海光学精密机械研究所811量子力学考研强化五套模拟题（二） . 10 2018年上海市培养单位上海光学精密机械研究所811量子力学考研强化五套模拟题（三） . 19 2018年上海市培养单位上海光学精密机械研究所811量子力学考研强化五套模拟题（四） . 26 2018年上海市培养单位上海光学精密机械研究所811量子力学考研强化五套模拟题（五） . 34
一、填空题
1． 称_____、_____、_____等固有性质完全相同的微观粒子为_____。 【答案】质量；电荷；自旋；全同粒子
2． 一粒子的波函数则粒子位于【答案】
间的几率为_____。
3． 力学量算符必须是_____算符，以保证它的本征值为_____. 【答案】厄米；实数
【解析】力学量的测量值必须为实数，即力学量算符的本征值必须为实数，而厄米算符的本征值为实数，于是量子力学中就有了一条基本假设——量子力学中所有力学量算符都是厄米算符.
4． 费米子组成的全同粒子体系的波函数具有_____，玻色子组成的全同粒子体系的波函数具有_____。
【答案】对称性；反对称性
5． 一质量为的粒子在一维无限深方势阱为_____, 能级表达式为_____。 【答案】
6 设体系的状态波函数为．量
的关系为_____。
中运动，其状态波函数
如在该状态下测量力学是F 在确定的值则力学量算符与态矢
【答案】
二、简答题
7． 斯特恩—革拉赫实验证明了什么？ 【答案】（1）半整数内禀角动量在存在。 （2）空间量子化的事实。
（3）电子自旋磁矩需引入2倍关系。
8． 简述波函数和它所描写的粒子之间的关系。
【答案】微观粒子的状态可用一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件。 微观粒子的状态波函数则在为
用算符的本征函数
展开
态中测量粒子的力学量^
得到结果为
的几率是
请分别指出他们对应的是哪些系统。
对应一维无限深势阱；
对应
得到结果在
范围内的几率
9． 现有三种能级【答案】一维谐振子．
10．完全描述电子运动的旋量波函数为
对应中心库仑势系统，例如氢原子；
试述
及
分别表示什么样的物理意义。
【答案
】
表示电子自旋向
下
表示电子自旋向上
11．反常塞曼效应的特点，引起的原因。 【答案】原因如下：
（1）碱金属原子能级偶数分裂； （2）光谱线偶数条；
（3）分裂能级间距与能级有关；
（4）由于电子具有自旋。
12．量子力学中的可观测量算符为什么应为厄米算符？
【答案】实验上可以观测的力学量的平均值必须为实数，而体系在任何量子态下平均值为实数的算符必为厄米算符，因此这要求可观测量算符应为厄米算符。
13．将描写的体系量子状态波函数乘上一个常数后，所描写的体系量子状态是否改变？ 【答案】不改变。根据
对波函数的统计解释，描写体系量子状态的波函数是概率波，由于
粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的概率总和等于1，因而粒子在空间各点出现概率只决定于波函 数在空间各点的相对强度。
位置
在处的几率密度
；
的几率。
14．已知为一个算符么正算符？
满足如下的两式问何为厄密算符？何为
【答案】满足关系式（a ）的为厄密算符，满足关系式（b ）的为幺正算符。
三、证明题
15．—粒子处于势场V （x ）中，且势V （x ）没有奇点. 假设是束缚态的波函数，
相应的本征能量色试证明这两个波函数对应的态矢正交.
【答案】由题意
并在方程两边同时积分
有
考虑到哈密顿算符的厄米算符性质并利用式Ⅱ有
又
则
设粒子本征波函数完备集为
则由正交归一化条件有
态矢为态矢为
即
Ⅳ、Ⅴ代入Ⅲ有
此即亦即两个波函数对应态矢正交.
16．设力学量A 不显含时间t ，证明在束缚定态下，
【答案】设束缚定态为
即有：
因A 不显含时间t , 所以
因而有：
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