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一、填空题

1． 称_____等固有性质_____的微观粒子为全同粒子。

【答案】质量；电荷；自旋；完全相同

2． 微观粒子的状态由波函数描述，波函数一般应满足的三个条件是_____、_____、_____。 【答案】连续性；有限性；单值性

3． 波函数的统计解释是：波函数在空间某一点处的_____和在该点扰到粒子的_____成正比。 【答案】强度；几率

4． 一粒子的波函数【答案】

5． 总散射截面Q 与微分散射截面

的关系是_____。

则粒子位于间的几率为_____。

【答案】

6． 对一个量子体系进行某一物理量的测量时，所得到的测量值肯定是_____当中的某一个，测量结果一般来说是不确定的. 除非体系处于_____。 【答案】本征值；定态

【解析】物理量的测量值应该对应其本征值，对于非定态，由于它是各个本征态的混合态，这就导致物理量的测量值可以是它的各个本征值，测得各个本征值满足一定概率分布，只有当体系处于定态，即位于该物理量对应的本征态，测得值才有可能为确定值.

二、简答题

7． 写出电子自旋的二本征值和对应的本征态。 【答案】

8． 写出在【答案】

表象中的泡利矩阵。

9． 写出泡利矩阵。 【答案】

10．以能量这个力学量为例，简要说明能量算符和能量之间的关系。 【答案】在量子力学中，能量

用算符表示，

当体系处于某个能量态

的作用是得到这一本征值，即

当体系处于一般态

的本征态

时，算符对

的作

时，算符对态

用是得到体系取不同能量本征值的几率幅（从而就得到了相应几率），即

11．在量子力学中，能不能同时用粒子坐标和动量的确定值来描写粒子的量子状态？ 定值。

12．试设计一实验，从实验角度证明电子具有自旋，并对可能观察到的现象作进一步讨论。

【答案】不能。因为在量子力学中，粒子具有波料二象性，粒子的坐标和动量不可能同时具有确

【答案】让电子通过一个均匀磁场，则电子在磁场方向上有上下两取向，再让电磁通过一非均匀磁场，则电子分为两束。

13．写出测不准关系，并简要说明其物理含义。 【答案】测不准关系

物理含义：若两个力学量不对易，则它们不可能同

时有确定的测值。

14．将描写的体系量子状态波函数乘上一个常数后，所描写的体系量子状态是否改变？ 【答案】不改变。根据

对波函数的统计解释，描写体系量子状态的波函数是概率波，由于

粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的概率总和等于1，因而粒子在空间各点出现概率只决定于波函 数在空间各点的相对强度。

三、证明题

15．证明厄密算符的本征值是实数。量子力学中表示力学量的算符是不是都是厄密算符？ 【答案】以表示的本征值

由此得

16．（1）设（2）试将【答案】（1）

表示所属的本征函数，则

即是实数。

的线性叠加. 其中为单位算符.

因为是厄密算符，于是有

与pauli 算符对易，证明

表示成

利用

化简可得：

（2）

四、计算题

17．设无外势场时，质量为能量为E ＞0的粒子的状态用球面波描写. 试 （1）导出决定S 波（1=0）波函数的常微分方程； （2）求出所有S 波的球面波波函数；

（3）计算对应于S 波解的速度流矢量并作出图示.[南京大学2009研] 【答案】（1）无外势场可看做有心势场的特殊情况. 则粒子在球坐标系中薛定谔方程为

在s 波情况下，令则（2）

故对应波函数为

其中A 为归一化系数. （3）概率概率流密度公式为球坐标系中

明显与角度无关，故对应概率流密度的三个分量为