2017年江苏大学理学院854概率论与数理统计考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1 设随机变量X 与Y 独立同分布, 且都服从标准正态分布N , 试证明:（0, 1）．相互独立.
【答案】设
则
所以
•由此得
和V=X/Y的联合密度为
所以
可分离变量, 即U 与V 相互独立.
利用此结果计
2． 设随机变量X 服从参数为X 的泊松分布，试证明：算
【答案】
由此得
3． 设
为来自
的i.i.d 样本，其中
）.
样本的联合密度函数为
两个参数空间分别为
利用微分法，在
下
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未知. 证明关于假设
的单侧t 检验是似然比检验（显著水平
【答案】记
分别为的MLE.
而在
下的MLE
为
于是似然比统计量为
在
时
由于
故只需考虑
的情形，此时A 为
的单
调增函数，故此时的似然比统计量A 是传统的t 统计量的増函数，即此时的似然比检验等价于单侧的t 检验，拒绝域
由t 检验的结论知，
4． 从正态总体
这就完成了证明.
中随机抽取容量为100的样本，又设的先验分布为正态分布，证明：不
，由共轭先验可知，的后验分布仍为正态分布由于n=100，所以
其
管先验分布的标准差为多少，后验分布的标准差一定小于1/5.
【答案】设的先验分布为中
故，不管先验分布的标准差为多少，后验分布的标准差一定小于1/5. 5． 设明:
为独立同分布的随机变量序列, 方差存在. 又设服从大数定律. 【答案】不妨
设
又因为
否则
令
. 因为
故有
所以由马尔可夫大数定律知
服从大数定律.
6． 设X , Y 均为（0, 1）上独立的均匀随机变量, 试证:
【答案】因为（X , Y ）的联合密度函数为
所以
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为绝对收敛级数. 令证
, 并讨
论即可.
由
知
为绝对收敛级数, 可记
7． 设证:
【答案】注意到
故
证明完成.
8． 设以下所涉及的数学期望均存在, 试证:
（1）（2）（3）
【答案】（1）由（2）因为（3）
9． 设
证明:
为独立随机变量序列, 且
服从大数定律.
相互独立, 且
由此可得马尔可夫条件
由马尔可夫大数定律知
服从大数定律.
10．设连续随机变量X 服从柯西分布, 其密度函数如下:
其中参数
常记为
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为一个样本,
是样本方差, 试
知
又由（1）知
所以有
【答案】因为所以