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一、解答题

1． 证明n

阶矩阵

与相似.

【答案】

设 分别求两个矩阵的特征值和特征向量为，

故A 的n 个特征值为

且A 是实对称矩阵，则其一定可以对角化，且

所以B 的n

个特征值也为

=-B的秩显然为1，故矩阵B 对应n-1

重特征值

对于n-1

重特征值由于矩阵（0E-B ）

的特征向量应该有n-1个线性无关，进一步

矩阵B 存在n 个线性无关的特征向量，即矩阵B 一定可以对角化，且从而可

知n

阶矩阵

与相似.

2． 设三阶方阵A 、B

满足式

的值.

其中E 为三阶单位矩阵.

若

求行列

【答案】

由矩阵

知则

. 可

逆.

又

故

即

所以

即

而

故

3．

已知矩阵

可逆矩阵P ，使

和

试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出

若不相似则说明理由.

【答案】由矩阵A 的特征多项式

得到矩阵A

的特征值是

由矩阵B 的特征多项式

得到矩阵B

的特征值也是

当

时，由秩

知

A 可以相似对角化.

而

有2个线性无关的解，

即

时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵

时矩阵B 只有1个线性无

只有1个线性无关的解，即

关的特征向量，矩阵B 不能相似对角化. 因此矩阵A 和B 不相似.

4． 设n 阶实对称矩阵A

满足

（Ⅰ）求二次型（Ⅱ

）证明[!

【答案】

（Ⅰ）设

由于

从而

的规范形；

且秩

的值.

即或

贝

因为A 是

是正定矩阵，

并求行列式

为矩阵A 的特征值，

对应的特征向量为

又因

故有

解得

实对称矩阵，所以必可对角化，

且秩于是

那么矩阵A 的特征值为：1（k 个），-1（n-k 个）.

故二次型

（Ⅱ）因

为

故

的规范形为

所以矩阵B 的特征值是

：

由于B 的特征值全大于0且B 是对称矩阵，因此B 是正定矩阵，

且

二、计算题

5．

设

是m

阶矩阵

的特征值，证明也是n 阶矩阵BA 的特征值.

特征向量

有

【答案】根据特征值的定义证明.

设A 是矩阵AB 的任-非零特征值

，是对应于它的特征向量.

即有用矩阵B 左乘上式两边，

得若再由

则由特征值定义知，为BA 的特征值. 下面证明

.

式得

因此

证明A 与B 有公共的特征值，有公共的特征向量. 则A 不可逆，0是A 的特征值；

事实上，由

6． 设n 阶矩阵A ，B 满足

【答案】

显然A 与B

的对应A 与B

有对应于

另一方面

，

同理，0也是B 的特征值，于是A 与B 有公共的特征值0.

的特征向量依次是方程Ax=0和Bx=0的非零解. 于是 的公共特征向量