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一、计算题

1． 已知厄米算符. （1）在A 表象中算符

满足

的矩阵表示。

且

求：

（2）在B 表象中算符的本征值和本征函数。 （3）从A 表象到B 表象的么正变换矩阵S 。 【答案】（1）由于所以，

在A 表象中算符的矩阵是

：设在A 表象中算符

的矩阵是由于

所以：

则有：

所以：

则有：令

其中为任意实常数，得在A 表象中的矩阵表示式为：

（2）类似地，可求出在B 表象中算符的矩阵表示为：在B 表象中算符的本征方程为：

α和β不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即对

有：

对

有：

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所以算符的本征值是因为在A 表象中，算符的矩阵是对角矩阵，

利用

得：

由于是厄米算符，

即

则有：

则可得：

所以，在B 表象中算符的本征值是

，本征函数为：

和-（3）类似地，在A 表象中算符的本征值是

本征函数为：

从A 表象到B 表象的么正变换矩阵就是将算符在A 表象中的本征函数按列排成的矩阵，即：

2． 考虑两个电子组成的系统。它们空间部分波函数在交换电子空间部分坐标时可以是对称的或反对称的。空间部分波函数是反对称时对应总的自旋平方对应总的自旋平方

本征值为

空间部分波函数对称时分别针对空间部分波函

的本征值为

本征值为0。假设两电子系统哈密顿量为

数是反对称和对称两种情形，求体系的能量。（提示：单电子自旋角动量平方算符

）。 【答案】利用应能量：

对应能量：

可知，空间部分波函数反对称时：

对

空间部分波函数对称时：

3． 对于描述电子自旋的泡利矩阵（1）在表象中求（2）若明其物理意义.

（3）对于两个电子组成的体系，若用本征态，证明态矢量【答案】（1）在由

和由

表象中，

的归一化本征函数. 为某一方向余弦，证明算符

的本征值为±1，说

分别表示单电子自旋平方和自旋z 分量的共同

是体系总自旋平方的本征态.

很容易求得

的本征值与本征矢：

的本征方程

（2）

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的本征方程

可得，

故

（3）在耦合角动量表象中，总自旋其中

则题中

4． 己知氢原子的径向波函数（1）求归一化常数A. （2）己知连带勒让德函数（3）对于本征态【答案】⑴（2） 所以

|

（3）对于本征态量的z 分量：

5． 已知

【答案】

其对应的能量为：

在的本征态下，计算的平均值。

角动量：

角动

本征函数可以表示为

求氢原子的归一化本征函数

其对应的能量、角动量、角动量z 分量各是多少？

故

是

的本征态.

其中a 为波尔半径.

的共同本征态

其物理意义即电子自旋的泡利算符，在空间任意一个方向的投影只能取两个值：

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