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一、计算题

1． 如图1所示，一平凸透镜的折射率为放置在空气中，透镜孔径的半径为上取一点

取什么形状？透镜顶点点与点相距多少？对透镜的孔径有何限制？

在透镜外主光轴

当平行光沿主光轴入射时，为使所有光线都会聚在点，试问：透镜凸面应

图1

【答案】取

坐标如图1所示，由光线

和

的等光程性，得

把上式取平方，加以整理，得出透镜凸面上任一点

的坐标

应满足的方程为

令

则方程简化为

这是双曲线的方程。由旋转对称性，透镜的凸面应是旋转双曲面。 透镜顶点点的位置

应满足

故

可见，对于一定的和

由决定。

因F 点在透镜外，即

这是对的限制条件，即

也即要求

在极限情形时，即当

时，有如下结果：

即点与点重合。又因在此极限情形下，有

故透镜凸面的双曲线方程变为

即

双曲线退化成通过F 点的两条直线，即这时透镜的凸面变成以点为顶点的圆锥面，如图2所示。任意

一条入射光线

由折射定律，有

由几何关系

可知

即所有入射的平行光线，折射后均沿圆锥面到达点，此时的角就是全反射的临界角。

图2

2． 氢原子是一个中心带正电的原子核（可视为点电荷），外边是带负电的电子云。在正常状态时，电子云的电荷分布密度是球对称的，且试求原子电场强度大小的分布。

【答案】根据电荷分布的球对称性，可知电场分布也具有球对称性。以原子核为球心、以r 为半径作一球形高斯面，由高斯定理知

为高斯面内包围的总电量。令其中电子云的电量为

式中为一常量（玻尔半径）。

则

则

所以

3． 在杨氏干涉实验中，已知双孔间的距离为单色光源的波长为

试求：

时，干涉条纹有足够的反衬度，此时等于多少？ 坐标，在屏幕设

坐标。位于光源中央点的点光源

屏幕中央

处的点是零级极大的位置。

处（即

光源到双孔的距离为

双孔到观察屏幕的距离为

（1）屏幕上干涉条纹的反衬度与光源宽度之间的关系； （2）当光源宽度等于临界宽度的【答案】如图所示，在光源面上设在屏幕上产生的干涉条纹的强度分布为

位于上方处的点光源在屏幕上产生的干涉条纹的零级极大的位置从点下移到，干涉条纹的强度分布为

整个条纹下移）

在处宽度为的光源产生的干涉条纹的强度分布为

宽度为的光源在屏幕上产生的干涉条纹的强度分布为

强度的极大值和极小值分别为