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一、填空题

1． 称_____等固有性质_____的微观粒子为全同粒子。 【答案】质量；电荷；自旋；完全相同

2 设体系的状态波函数为．量

的关系为_____。

如在该状态下测量力学是F 在确定的值

则力学量算符与态矢

【答案】

3． 费米子组成的全同粒子体系的波函数具有_____，玻色子组成的全同粒子体系的波函数具有_____。

【答案】对称性；反对称性

4． 一质量为的粒子在一维无限深方势阱为_____, 能级表达式为_____。 【答案】

5． 如图所示，有一势场为：

，当粒子处于束缚态时，£ 的取值范围为_____。

中运动，其状态波函数

图

【答案】

6． 玻恩关于波函数统计解释的基本论点是_____。

【答案】物质的本源是粒子；波动性是指微观粒子处于某一物理量值的统计几率

二、简答题

7． 非相对论量子力学的理论体系建立在一些基本假设的基础上，试举出二个以上这样的基本假设，并简述之。

【答案】（1）微观体系的状态被一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件。

（2）力学量用厄密算符表示。如果在经典力学中有相应的力学量，则在量子力学中表示这个力学量的算符，由经典表示式中将动量换为算符数。

（3）将体系的状态波函数

用算符的本征函数展开：

则在

盔中测量力学量得到结果为

（4）体系的状态波函数满足薛定谔方程

其中是体系的哈密顿算符。

的几率是

得到结果在

范围内的几率是

得出。表示力学量的算符组成完全系的本征函

（5）在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态（全同性原理）。 以上选三个作为答案。

8． 写出角动量的三个分量【答案】这三个算符的对易关系为

9． 写出泡利矩阵。 【答案】

10．—个量子体系处于定态的条件是什么？

【答案】量子体系处于定态的条件是哈密顿算符不显含时间或能量取确定值。

11．有人说“在只考虑库仑势场情况下，氢原子原有本征态都存在实的轨道波函数”，你是否同意这种说法， 简述理由。 【答案】不同意。因为

为实函数，但

可以为复函数。

的对易关系.

12．什么是塞曼效应？什么是斯达克效应？

【答案】塞曼效应是原子在外磁场中光谱发生分裂的现象；斯达克效应是原子在外电场作用下光谱发生分裂的现象。

13．已知为一个算符么正算符？

【答案】满足关系式（a ）的为厄密算符，满足关系式（b ）的为幺正算符。

14．何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？

【答案】在强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条的现象称为正常塞曼效应。在弱磁场中，原子发出的

每条光谱线都分裂为

条（偶数）的现象称为正常塞曼效应。原子置于外

电场中，它发出的光谱线会发生分裂的现象称为斯塔克效应。

满足如下的两式问何为厄密算符？何为

三、计算题

15．考虑一维双势阱：

（1）推导在x=a处波函数的连接条件. （2）对于偶宇称的解，即征值的数目.

【答案】（1）薛定谔方程可表示为

OT 为粒子质量，

为方程的奇点，在x=a点处

对上述方程积分

得出

（2）由题意知当x ＞a 时，

当-a ＜x ＜a 时，

其中

其中

考虑到束缚态，因此解为

考虑到偶宇称，因此解为

结合x=a处的边界条件和此处的波函数连续条件，可得

化去A , C后可得，

此即能量本征值所需要满足的方程.

不存在，表现为

不连续。

求束缚态能量本征值满足的方程，并用图解法说明本

其中