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一、简答题

1． 写出电子在外电磁场【答案】

2． 现有三种能级【答案】

请分别指出他们对应的是哪些系统。

对应一维无限深势阱；

对应

中的哈密顿量。

对应中心库仑势系统，例如氢原子；

一维谐振子．

3． 分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态？

【答案】当粒子的坐标趋向无穷远时，波函数趋向零，称之为粒子处于束缚态。若一个本征值对应一个以上的本征态，则称该本征值是简并的，所对应的本征态即为简并态，本征态的个数就是相应的简并度。将波函数中的坐标变量改变一个负号，若新波函数与原波函数相差一个负号，则称其为负宇称态。

4． 归一化波函数是否可以含有任意相因子【答案】可以。因为即用任意相因子归一化。

5．

写出角动量的三个分量【答案】这三个算符的对易关系为

6． 以能量这个力学量为例，简要说明能量算符和能量之间的关系。 【答案】在量子力学中，能量

用算符表示，

当体系处于某个能量态

的作用是得到这一本征值，即

当体系处于一般态

的本征态

时，算符对

的作

时，算符对态

的对易关系.

如果

对整个空间积分也等于1。

对整个空间积分等于1，则

去乘以波函数，既不影响体系的量子状态，也不影响波函数的

用是得到体系取不同能量本征值的几率幅（从而就得到了相应几率），即

7． 试设计一实验，从实验角度证明电子具有自旋，并对可能观察到的现象作进一步讨论。

【答案】让电子通过一个均匀磁场，则电子在磁场方向上有上下两取向，再让电磁通过一非均匀

磁场，则电子分为两束。

8． 如果算符表示力学量那么当体系处于

的本征态时，问该力学量是否有确定的值？

【答案】是，

其确定值就是在本征态的本征值。

二、计算题

9． 考虑相距2a 、带电为e 和一e 的两个粒子组成的一个电偶极子，再考虑一个质量为m 、带电为e 的入射粒子，其入射波矢k 垂直于偶极子方向，见图求在玻恩近似下的散射振幅，并确定微分散射截面取最大值的方向。

图

【答案】电偶极子势能为 由波恩近似有散射振幅为散射微分截面为

【积分未完成】

式中此即所求表达式.

10．在动量表象中，写出线谐振子的哈密顿算符的矩阵元。 【答案】在坐标表象中，线谐振子的哈密顿算符为：在动量表象中，该哈密顿算符为：

由于动量的本征函数为

故哈密顿算符的矩阵元为：

11．粒子在势场作【

答

案

】

利

用

波

函

数

的

归

一

化

公

式

中运动，其中试用变分法求基态能级的上限。试探波函数可取

由重新代入

得：

表达式，得：

为电子的总角动量。（

）

故基态能量的上限为：

12．已知

分别为电子的轨道角动量和自旋角动量，

证明

是

的本征态，并就

的共同本征态为相应的本征值。 【答案】

两种情况分别求出其

13．已知二阶矩阵A 、B 满足：【答案】根据定义由于

故得：

有：

在B 表象中，求出矩阵A 、B 。

由此式求出B 的本征值为0，1。

在B 表象中，B 为对角矩阵，对角矩阵元等于本征值，所以B 可以表示为：

设：

则有：