2018年山东省培养单位青岛生物能源与过程研究所811量子力学考研强化五套模拟题
● 摘要
一、填空题
1． 费米子组成的全同粒子体系的波函数具有_____，玻色子组成的全同粒子体系的波函数具有_____。
【答案】对称性；反对称性
2． 波函数的统计解释是：波函数在空间某一点处的_____和在该点扰到粒子的_____成正比。 【答案】强度；几率
3． 判别一个物理体系是经典体系还是量子体系的基本标准是_____。
【答案】当物理体系的作用量与A 相比拟时，该物理体系视为量子体系；当物理体系的作用量远大于时，视为经典体系。
4． 总散射截面Q 与微分散射截面
的关系是_____。
【答案】
5． 对一个量子体系进行某一物理量的测量时，所得到的测量值肯定是_____当中的某一个，测量结果一般来说是不确定的. 除非体系处于_____。 【答案】本征值；定态
【解析】物理量的测量值应该对应其本征值，对于非定态，由于它是各个本征态的混合态，这就导致物理量的测量值可以是它的各个本征值，测得各个本征值满足一定概率分布，只有当体系处于定态，即位于该物理量对应的本征态，测得值才有可能为确定值.
6． 力学量算符必须是_____算符，以保证它的本征值为_____. 【答案】厄米；实数
【解析】力学量的测量值必须为实数，即力学量算符的本征值必须为实数，而厄米算符的本征值为实数，于是量子力学中就有了一条基本假设——量子力学中所有力学量算符都是厄米算符.
二、简答题
7． 什么是费米子? 什么是玻色子? 两者各自服从什么样的统计分布规律?
【答案】费米子是自旋为半奇数的粒子，玻色子是自旋为整数的粒子. 费米子遵守费米-狄拉克统计规律，玻色子遵从玻色-爱因斯坦统计规律.
8． 分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态？
【答案】当粒子的坐标趋向无穷远时，波函数趋向零，称之为粒子处于束缚态。若一个本征值对应一个以上的本征态，则称该本征值是简并的，所对应的本征态即为简并态，本征态的个数就是相应的简并度。将波函数中的坐标变量改变一个负号，若新波函数与原波函数相差一个负号，则称其为负宇称态。
9． 写出电子在外电磁场【答案】
中的哈密顿量。
10．分别写出非简并态的一级、二级能量修正表达式。 【答案】
11．如果一组算符有共同的本征函数，且这些共同的本征函数组成完全系，问这组算符中的任何一个是否和其余的算符对易？ 【答案】不妨设这组算符为
.
则对任意波函数
完全系为有：
可见，这组算符中的任何一个均和其余的算符对易。
12．写出泡利矩阵。 【答案】
依题意
13．何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？
【答案】在强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条的现象称为正常塞曼效应。在弱磁场中，原子发出的
每条光谱线都分裂为
条（偶数）的现象称为正常塞曼效应。原子置于外
电场中，它发出的光谱线会发生分裂的现象称为斯塔克效应。
14．—个量子体系处于定态的条件是什么？
【答案】量子体系处于定态的条件是哈密顿算符不显含时间或能量取确定值。
三、计算题
15．设质量为m 的粒子处于势场的本征波函数
也属于正幂次级数，故有定态方程
中，K 为非零常数. 在动量表象中求与能量E 对应
【答案】显然势场不含时，属于一维定态问题，而
式中：
则I 式可以化为：令
上方程可化简为
式解得
16．氢原子处在基态（1）r 的平均值； （2）动能的平均值； （3）动量的概率分布函数. 【提示：
【答案】（1） r 的平均值即
】
求：
则
其中C 为归一化常数。
5.10仿照5.3节，在直角坐标系中求解二维各向同性谐振子的能级
和简并度，与三维各向同性谐振子比较.[上]3.9题 （2）由维里定理
（为势能关于r 的幂次）有动能平均值
其中玻尔半径
而氢原子基态能量为
故
5.10仿照5.3节，在直角坐标系中求解二维各向同性谐振子的能级和简并
度，与三维各向同性谐振子比较.[上]3.9题5.10仿照5.3节，在直角坐标系中求解二维各向同性谐振子的能级和简并度，与三维各向同性谐振子比较.
17．中子的自旋也为
磁矩为
若中子处于沿y 方向的均匀磁场中，求自旋波函数。
）
【答案】体系的哈米顿基为：
不妨取
在
表象中，
设自旋波函数为
则能量本征方程为：