2017年西华师范大学综合数学(同等学力加试)之高等代数复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、分析计算题
1． a ，b 取什么值时，线性方程组
有解？在有解的情形，求一般解.
【答案】对增广矩阵作初等行变换化为阶梯形
易见只有a=0且b=2时原方程组才有解. 由它的同解方程组
解出它的一般解为
它有一个特解部解为
2． 设V 是数域K 上n 维线性空间，
（1）存在I 【答案】（1）因（2
）令
则存在
去，可得线性无关向量组
，（构成V 的基）且有
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它的导出组的基础解系为
原方程组的全
是V 的s 个真子空间，证明，
•显然
，且
线性无关.
令
线性无关，如此继续下
，
且
使得
使
（2）存在V 中一组基
同样有
是V 的真子空间，由上例，存在
3． 设交基，其中：
是5维欧氏空间V 的一个标准正交基，求子空间
线性无关：设若
故
正交化，得
从而
的一个标准正
【答案】先证则得再对
线性无关.
再单位化，即得w 的一标准正交基：
4． 设
分别是齐次线性方程组
的解空间. 证明：数域K 上n 元行空间【答案】证法I 对于
由于
显然是
即
其系数矩阵的秩是的一基础解
系）：又显然证法II 取因此，又由
5． 设
与是方程中任意向量
则得又显然必有
故
故
的三个根，计算
【答案】由根与系数的关系，知
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的n-l 维子空间，且有基
故其解空间
线性无关，为
的维数是1. 于是例如，令便得的一基（即（8）
的一基，因此，可表为
将代入：
6． 设v 是定义域实数集R 的所有实函数组成的集合，对于义
则v 成为实数域上的一个线性空间. 设
（1）判断（2）用
表示
【答案】（1）令分别将
代人①式得
解捐（2）令
线性无关.
是直和，即_
7． 设W
是I
【答案】设所以
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表成的多项式，并将它们的值
分利用下列式子定
是否线性相关，写出理由； 生成的线性子空间，判断
即
是否为直和.
是直和.
或全为0,
或
全不为
的非零子空间，对于W
中每一个向量
n , 证明：
这里
则a 线性无关.
因为