2017年哈尔滨工程大学理学院826高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 设有一圆板占有平面闭区域的温度是
【答案】解方程组
。该圆板被加热，以致在点
，求该圆板的最热点和最冷点。
求得驻点在边界
上，有
。
当比较
时，有边界上的最大值及
的值知，最热点在
，
时，有边界上的最小值
，最冷点在
。
。
2． 下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于哪一类。如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续:
（1）（2）（3）（4）
【答案】（1）对x=1，因为f （1）无定义，但
，重新定义函数:
所以x=l为第一类间断点（可去间断点）
则f l （x ）在x=1处连续。
因为，所以x=2为第二类间断点（无穷间断点）.
，所以x=0为第一类间断点（可去间断
（2）对x=o，因为f （0）无定义，，重新定义函数:
点）
则f 2（x ）在（3）对x=0，因为（4）对x=1，因为
但不相等，所以x=1为第一类间断点（跳跃间断点）。
注：在讨论分段函数的连续性时，在函数的分段点处，必须分别考虑函数的左连续性和右连续性，只有函数在该点既左连续，又右连续，才能得出函数在该点连续。 3． 计算
（1）锥面（2）锥面【答案】（1）由面
在在
1上，2上，
2在
1和
处连续。 及
均不存在，所以x=0作为第二类间断点。
即左、右极限存在，
，其中是：
及平面z=1所围成的区域的整个边界曲面; 被平面z=0和z=3所截得的部分。
2组成，其中
1为平面
z=1上被圆周所围的部分；
2为锥
xOy 面上的投影区域D xy 均为
。
1
和
因此
（2）由题设，的方程为
，则
又由于是
和z=3消去z 得，故在xOy 面上的投影区域D xy
为
，
4． 设f （x ）在区间[a, b]上连续，g （x ）在区间[a, b]上连续不变号，证明至少存在一点使下式成立：
【答案】不妨设
（积分第一中值定理）。
，由定积分性质可知
故有
当当
时，由上述不等式可知时，
有
，故结论成立。
，由闭区间上连续函数性质，知
存在
，
记f （x ）在[a, b]上的最大值为M 、最小值为m ，则有
，使得从而结论成立。
5． 设物体绕定轴旋转，在时间间隔[0，t]内转过角度θ从而转角θ是t 的函数:θ=θ（t ）。如果旋转是匀速的，那么称刻t 0的角度?
【答案】在时间间隔[t0，t 0+at]内的平均角速度
在时刻t 0的角速度
6． 计算
其中为圆锥面
被平面的上侧，则
围立体，则
为该物体旋转的角速度。如果旋转是非匀谏的，应假样确宁该物休存时
所截下的有限部分的外侧。 构成封闭曲面的外侧，令
为
所
【答案】由于积分曲面不是封闭曲面，故不能直接使用高斯公式，故作辅助平面
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