题目：一类捕食食饵模型解的分析

      本文主要讨论了一类带 Beddington-DeAngelis 和修正的 Leslie -Grower反应函数的捕食- 食饵模型$$left{egin{array}{ll}u_t-d_1Delta u=(a-a_{1}u-frac{a_2v}{1+mu+kv})u, & xinOmega, t>0,\v_{t}-d_{2}Delta v=(b-frac{b_1v}{1+hu})v, & xinOmega, t>0,\u=v=0,& xinpartialOmega, t>0,\u(x,0)=u_0(x)geq0,
otequiv0;v(x,0)=v_0(x)geq0,
otequiv0, & xinOmega.end{array} ight.$$ 运用分歧理论、极值原理、摄动定理、稳定性理论,研究了正平衡解的存在性、稳定性、一维情形下的惟一性以及解的一致持续性. 本文的主要内容如下:
       第一章研究了该模型正平衡解的性质, 分为三部分: 第一部分利用分歧理论和特征值估计说明了平衡态系统正解的结构. 结果表明, 当参数 $ain(lambda_1,lambda_1+frac{a_2}{k})$时,共存解分支有界, 且连接两个半平凡的解分支; 当参数 $ageqlambda_1+frac{a_2}{k}$ 时, 共存解分支沿参数 $b$ 趋于无穷 (见图1), 同时讨论了局部分歧解的稳定性;第二部分利用 Liapunov-Schmidt 方法, 研究了该模型二重特征值处的分歧及稳定性;第三部分在一维情况下给出了正解的存在惟一性.
     第二章研究了该模型解的长时行为. 利用上下解方法和稳定性理论对解的持续性进行讨论, 进而给出正解一致持续的充分条件. 结果表明,%当参数 $a<lambda_1, b<lambda_1$ 时, 平凡解\%(0,0) 渐近稳定; 当 $aleqlambda_1, b>lambda_1$ 时, 半平凡解 $(0, heta_b)$ 是渐近稳定的; 当\%$a>lambda_1, bleqlambda_1$ 时, 非负解 $( heta_a, 0)$ 渐近稳定;当参数 $a$ 或 $b$ 小于 $lambda_1$ 时, 至少一物种趋于灭亡; 当参数 $a>lambda_1(frac{a_2 heta_b}{1+k heta_b}), b>lambda_1$时, 抛物型方程的正解是一致持续的, 此时两物种可以共存. 最后, 借助于 Matlab 软件, 通过数值模拟对所得到的理论进行了验证和补充.