2017年陕西师范大学数学与信息科学学院826高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 一房地产公司有50套公寓要出租。当月租金定为1 000元时, 公寓会全部租出去。当月租金每增加50元时, 就会多一套公寓租不出去。而租出去的公寓每月需花费100元的维修费。试问房租定为多少时可获得最大收入?
【答案】设每套月房租为x 元, 则租不出去的房子套数为
, 租出的每套房子获利（x-100）元。故总利润为
则令
, 得驻点
, 由
知
为极大值点, 又驻点惟一, 这极大值点就是最大
,
租出去的套数为
值点。即当每套月房租定在1800元时, 可获得最大收入。
2．
设
是
上从
到的一段曲线，求a 的值，
使曲线积分
取得最大值。
【答案】设与则
所围区域为D ，如图所示，在D 上应用格林公式，记
令故
3． 求曲线
【答案】
4． 将函数
【答案】其中
于是
5． 落在平静水面上的石头，产生同心波纹。若最外一圈波半径的增大率总是6m/s，问在2s 末扰动水面面积的增大率为多少?
2
【答案】设最外一圈波的半径为r=r（t ）。圆的面积S=S（t ）。在S=πr 两端分别对t 求导，
得唯一驻点
。
，由于，所以为极大值，即最大值，
相应于的一段弧长。
展开成x+4的幂级数。
得
当t=2时，
代入上式得
6． 在摆线
，
上求分摆线第一拱成1:3的点的坐标。
【答案】对应于摆线第一拱的参数t 的范围为[0, 2π]，参数t 在范围[0，t 0]时摆线的长度为
当t 0=2π时，长度为8a ，故所求点对应的参数t 0满足到点的坐标为
7． 计算曲线
上相应于1≤x ≤3的一段弧（如图）的长度。
。
，解得
，从而得
图
【答案】
8． 设曲线L 的方程为
（1）求L 的弧长.
（2）设D 是由曲线L ，直线x=1，x=e及x 轴所围平面图形，求D 的形心的横坐标. 【答案】（1）
，代入弧长的公式，得
所以L 的弧长
（2）根据形心公式有