2017年陕西师范大学旅游与环境学院602高等数学(Ⅰ)考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 求下列幂级数的和函数：
【答案】（1）
则
当
时，原级数收敛，当
即
即
时，因级数的一般项
从0到x 积分并逐项积分
上式两端对x 求导，得
（2）
则
当时，级数，则
数为s （x ）
在（-1, 1）内，上式两端对x 求导，得
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故级数发散。
因此原级数的收敛域为
设和函数为
时，级数收敛；当
与
时，因级数一般项故级数发散；当
设和函
：是收敛的交错级数，因此原级数的收敛域为
于是
又由于幂级数在（3）令
处收敛，且
幂级数
的收敛域为
于是原级数的和函数
（4）径为R=1，当
时，级数
与
由
得幂级数的收敛半
均收敛，故幂级数的收敛域为[-1, 1]. 记其和函数为
即有
在
处连续，故
设和函数为s （x ）, 即当x=0时，s （0）=0； 当
时，有
上式两端对x 求导，得
注意到
上式两端从0到x 积分，得
再积分，得
于是
由于幂级数在
处收敛，故和函数分别在
处左连续与右连续，于是
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因此
2． 求对数螺线
【答案】
3． 计算下列反常积分：
（1）（2）
【答案】（1）x=0为被积函数
的瑕点，而
收敛。
，而
因此
故
（2）记被积函数为当α＞0时，令
，得到
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及射线所围成的图形的面积.
故又
，则当α=0时，
，因此当α≥0时，
，又
收敛。