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博士家园

中科院数学与系统科学研究院2007数学分析参考解答1

1x

1. 设I =lim x [e −(1+) ].根据中值定理, 有

x →+∞

e b −e a =e θ(b −a ) , (a <θ

于是

e −(1+

11x 1

) =e 1−e x ln(1+) =e θx [1−x ln(1+)], x x

1

其中θx 介于1与x ln(1+) 之间. 注意到

x →+∞

1

lim x ln(1+) =1, 则

I =lim xe θx [1−x ln(1+

x →+∞

11

)]=e lim x [1−x ln(1+)]

x →+∞x x

=e lim

1−

ln(1+t )

t →0+

t

1

1−=e lim

t →0+2t e =2

t −ln(1+t ) 0

()

t →0+t 20

1

=e lim

t →0+2(1+t ) =e lim

2. 容易得到

√1(x −)(x −√1

f (x ) =−=−3

1+x 4x 4x (1+x ) √1 令f (x ) =0, 得稳定点, 要求f (x ) 在区间[0. 01, 100]上的最小值, 只需比较f (x ) 在

√1

点0. 01, , 100的大小. 于是√

x

[0. 01,

) (, (100]

√√11) , f () f (, f (>f (100), 又11√

ln >0, f () =arctan() +4√π√

f (100)=arctan 100−ln 100<−<0

42

√

√

故f (x ) 在区间[0. 01, 100]上的最小值为f (100)=arctan 100−

1√

3. 由定级分定义知所求极限为I =0e dx . 令x =t 2, 有

I =2

1

ln 10.

1

te t dt =[2(t −1) e t ]|10=2.

解答人:whpengxg11020

1