2017年山西师范大学概率论与数理统计(加试)考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设随机变量X 服从二项分布b . 若，随机变量Y 服从二项分布b （2，p ）（4，p ）试求
中解得p=2/3.由此得
如果定义随机变量Z 如下
【答案】从
2． 设X 和Y 是相互独立的随机变量, 且
求Z 的分布列.
【答案】因为X , Y 相互独立, 所以其联合密度函数为
由此得
3． 下表是经过整理后得到的分组样本:
表
试写出此分组样本的经验分布函数. 【答案】样本的经验分布函数为
4． 由正态总体
【答案】
因为
抽取容量为20的样本, 试求
所以
,
用
表示服从
的随机变量的分布函数值, 则
利用统计软件可计算上式. 譬如, 可使用MATLAB 软件计算上式:在命令行输入
则给出
一次性给出
输入
这里的
则给出0.0318,
直接输入
就表示自由度为k 的
则
分布在x 处的分布函数值. 于是有
5． 设随机变量X 的概率密度函数为
对X 独立重复观察4次，Y 表示观察值大于π/3的次数，求【答案】因为事件“观察值大于；π/3”可用而Y 的分布列为
所以
6． 设
为独立同分布的随机变量序列, 其共同的分布函数为
试问:辛钦大数定律对此随机变量序列是否适用？
【答案】此为柯西分布的分布函数, 而柯西分布的数学期望不存在, 因为辛钦大数定律要求数学期望存在, 所以辛钦大数定律对此随机变量序列不适用.
7． 某电子计算机主机有100个终端, 每个终端有80%的时间被使用. 若各个终端是否被使用是相互独立的, 试求至少有15个终端空闲的概率.
【答案】记X 为100个终端中被使用的终端个数, 则极限定理, 所求概率为
这表明至少有15个终端空闲的概率近似为0.9155.
. 利用棣莫-拉普拉斯中心的数学期望.
表示，从而
8． 假设人体身高服从正态分布，今抽测甲、乙两地区18岁〜25岁女青年身高得数据如下：甲地区抽取10名，样本均值1.64m ，样本标准差0.2m ; 乙地区抽取10名，样本均值1.62m , 样本标准差0.4m. 求：
（1）两正态总体方差比的置信水平为95%的置信区间； （2）两正态总体均值差的置信水平为95%的置信区间. 【答案】设设条件
，
（1）
的
的置信区间为
由此，
为甲地区抽取的女青年身高，
此处
，
为乙地区抽取的女青年身高，由题
m=n=10, 查表得信区间为
的置信水平为95%的置
（2）由（1）方差相等，此时，
查表得
故两正态总体均值差的置信水平为95%的置信区间为
还有另一种解法就是不对方差相等作假定，而采用近似方法求均值差的置信区间，由于
从而两正态总体均值差的置信水平为95%的近似置信区间为
这二个置信区间相差不算太小，所以在应用中条件“方差相等”是否成立是要加以考证的. 查表知
的置信水平为95%的置信区间包含1, 因此有一定理由假定两个正态总体的
二、证明题
9． 用概率论的方法证明:
【答案】设
为独立同分布的随机变量序列, 其共同分布为参数
服从参数
的泊松分布
故
又由泊松分布的可加性知
,
理知
的泊松分布. 由林德伯格-莱维中心极限定