2017年湘潭大学554概率论考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设给定：
（1）求（
是来自正态分布
的一个样本，令
又设，其中
；
的联合先验分布如下已知.
在固定时，的条件分布为）的后验分布
（2）求的后验边际分布；
（3）求给定条件下的后验边际分布. 【答案】（1）（
）的先验分布为
与（
）的联合分布为
所以，（
）的后验分布为
（2）对
关于求积分，则
据此可知，
（3）由
可得，
据此可知，
这说明该先验分布为（
）的共轭先验.
2． 设圆的直径服从区间（0，1）上的均匀分布，求圆的面积的密度函数.
【答案】设圆的直径为X ，则圆的面积
而X 的密度函数为
因为且
在区间（0，1）上为严格单调增函数，其反函数为所以圆面积
的密度函数为
3． 分别用随机投点法和平均值法计算下列定积分:
【答案】（1）随机投点法. 先用计算机产生（0, 1）上均匀分布的2n 个随机数（譬如构成n
个数对记
以
记满足不等式
平均值法. 先用计算机产生n 个（0, 1）上均匀分布的随机数算
, 最后得的估计值为
（2）对于第二个积分
先将其化成
区间上的积分. 令
»
则
此时有
其中对
•）, 构成n 个数
以
记满足不等式
的次数, 则
平均值法. 先用计算机产生n 个（0, 1）上均匀分布的随机数算
最后得J 的估计值为
）,
的次数,
则然后对每个
计
随机投点法. 先用计算机产生（0, 1）上均匀分布的2n 个随机数（譬如
然后对每个计
4． 检查四批产品, 其批量与不合格品率如下:
表
试求这四批产品的总不合格品率. 【答案】这批产品的总不合格品率为
5． 设总体概率函数如下，
（1）（2）
【答案】（1）似然函数为
是样本，试求未知参数的最大似然估计.
其对数似然函数为
将InL （θ）关于θ求导并令其为0即得到似然方程
解之得
由于
所以
的最大似然估计.
其对数似然函数为
将
关于求导并令其为0得到似然方程
解之可得
由于
这说明
的最大似然估计.
（2）似然函数为
6． 已知离散随机变量X 的分布列为
表1
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