题目：阶梯圆盘的特性研究

弯曲振动薄板是超声振动系统中一个重要的组成部分，它是厚度远小于长、宽尺寸的板，有自由、简支和固定三种边界条件，具有辐射面积大，辐射阻抗低的特点。近年来，随着超声技术的发展，薄板在超声中的应用日趋广泛，由于薄板在固定边界条件的实现较为复杂，因此对此研究相对较少。张达等人对于四角固定薄板扬声器的辐射声场作了详细的研究，扬声器利用这种新型的发声方式有可能突破动圈扬声器音质不能进一步提高的困境。对于薄板扬声器有多种固定方式，如四角固定、四边固定等，不同的固定方式会产生不同的发声效果。
阶梯圆盘是平面圆盘改进而来的，其阶梯高度等于辐射介质中的 波长，主要目的是将平面圆盘辐射声场中的相位相消降低到最低，以提高辐射效率和声场的指向性。由于固定边界阶梯圆盘的频率方程很复杂，以前的文献并未给出其解算方法。
本文就带有一个阶梯的固定边界阶梯圆盘展开研究。第一步推导了固定边界阶梯圆盘的频率方程，提出了频率方程的解算方法，并编制了计算机程序，可方便计算出这种类型圆盘的半径和节线半径，设计出完整的阶梯圆盘。进而对阶梯圆盘的声场指向性及辐射阻抗展开研究。第二步对材料相同、基底厚度相同、频率相同的三种边界条件的阶梯圆盘，在盘中间有一条节线时的半径、节线半径、声场指向性及辐射阻抗进行了比较。主要贡献有以下几个方面：
1、 推导及求解频率方程
联立两个固定边界条件方程和四个连续性方程，推导出了固定边界阶梯圆盘的频率方程，提出了求解频率方程的数值计算方法。给定阶梯圆盘材料、基底厚度和频率时，编制程序，利用循环取值法计算得到阶梯圆盘的半径和节线半径，设计出完整的阶梯圆盘。并用有限元法对阶梯圆盘弯曲振动时的振动模态和位移分布进行了分析，从阶梯圆盘振型图可以看出，当频率 时，振动模态为设计所需要的模态，从位移分布曲线可以看出，阶梯圆盘的节线半径与理论计算结果基本吻合。
2、计算辐射声场
阶梯圆盘弯曲振动时，它向四周辐射的能量是不均等的，有的方向强些，有的地方弱些，即指向性。根据推导出的频率方程，计算了阶梯圆盘位移表达式中的振形系数。进而计算出阶梯圆盘中心凸起和外围圆环的声压，把这两部分的声压进行叠加，推导出固定边界阶梯圆盘的指向性表达式，编制程序计算得到阶梯圆盘的指向性图。
3、研究辐射阻抗
利用经典理论很难计算辐射面不在同一几何平面上的辐射阻抗。由于阶梯圆盘的表面不在同一几何平面上，本文利用迭加法计算了固定边界阶梯圆盘的辐射阻抗，得到阶梯圆盘辐射阻抗随 （ 为波数， 为阶梯圆盘半径）的变化关系。
4、对比分析
对材料相同，基底厚度相同，频率相同的三种边界条件的阶梯圆盘，在盘中间有一条节线时，比较了阶梯圆盘的半径、节线半径、声场指向性和辐射阻抗。
本文对固定边界阶梯圆盘的振动和辐射特性进行了计算。进一步计算了自由和简支边界阶梯圆盘的振动和辐射特性，并与本文中研究的固定边界阶梯圆盘的振动和辐射特性进行了对比分析，结果表明：固定边界阶梯圆盘的半径最大，自由边界的最小，简支边界的居中。固定和简支边界阶梯圆盘的声场指向性较自由边界的明显尖锐。自由边界的指向性图主声束角宽度最宽，即指向性最不尖锐，但旁瓣最少；简支和固定边界的指向性图主声束角宽度相差不大，但是固定边界的旁瓣比简支边界的明显减少。辐射阻都在高频段比低频段大，当 相同时，自由边界的辐射阻最大，简支边界的最小，固定边界的居中。辐射抗都在高频段比低频段小，当 相同时，自由边界的辐射抗最大，简支边界的最小，固定边界的居中。本文的结论为实际中不同边界阶梯圆盘有目的、高效率的利用提供科学的理论依据。