2017年武汉大学高等研究院601高等数学(理学)考研仿真模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 设
【答案】由于
，
为可微函数，求，令
。
，则将其代入原式得
则
则
2． 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解
（1）（2）（3）
【答案】（1）原方程可写成令
，
即，积分得
，
有
。
，
则原方程为，即
，代入
，分离变量，
得
并整理，得通解。
，分离变量，
得
，
积分得
。
由初始条件x=0, y=1, 得C=-1，于是所求特解为（2
）令
。
将求特解为
（3）将原方程写成
代入上式并整理，得通解
。
，令
，有
，
有
则原方程成为
，代入初始条件x=1, y=2, 解得C=2，于是所
，则原方程为
，整理并分离变量，得，积分得
故求特解为
，代入。
并整理，得通解，以初始条件x=1, y=1定出C=1。故所
3． 如果一公司经营某种产品的边际利润函数为
【答案】
4． 若函数
恒满足关系式
，那么表示什么？
表示从经营第1000个产品起一直到第2000个产品的利润总量。
就称为k 次齐次函数，
验证k 次齐次函数满足关系式
其中f 存在一阶连续偏导数。 【答案】为简化计算，可令两边同时对t 求导，得
则上式对一切实数t 都成立。令
，得
。
5． 设有一质量为m 的物体，在空中由静止开始下落，如果空气阻力为R=cv（其中C 为常数，v 为物体运动的速度，试求物体下落的距离s 与时间t 的函数关系。）
【答案】根据牛顿第二定律，
有关系式
方程成
为
得
于是
有
代入初始条件
积分
得
，得
得
并依据题设条件，
得初值问题
分离变量后积
分
，则
，
代入初始条
件
故所求特解（即下落的距离与时间的关系）为
6． 求下列微分方程的通解:
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）【答案】（1）
（2）将方程改写成
，则
（3）
（4）
（5）将原方程写成
，则
（6）
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