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一、填空题

1． 描述微观粒子运动状态的量子数有_____; 具有相同n 的量子态，最多可以容纳的电子数为_____个。

【答案】

2． 称_____、_____、_____等固有性质完全相同的微观粒子为_____。

【答案】质量；电荷；自旋；全同粒子

3． 费米子组成的全同粒子体系的波函数具有_____，玻色子组成的全同粒子体系的波函数具有_____。

【答案】对称性；反对称性

4． 一粒子的波函数【答案】

则粒子位于间的几率为_____。

5． 在量子力学原理中. 体系的量子态用希尔伯特空间中的_____来描述. 而力学量用_____描述. 力学量算符必为_____算符，以保证其_____为实数.

；厄米；本征值 【答案】函数矢量；张量（一般是二阶张量，即矩阵）

【解析】希尔伯特空间中的函数矢量对应体系的量子态，力学量对应张量，一般情况下力学量对应二阶张量，也就是矩阵. 力学量算符必须保证其厄米性，否则将导致测量值即其本征值不是实数，这显然不符合事实.

6． —个电子运动的旋量波函数为

则表示电子自旋向上、位置在处

的几率密度表达式为_____，表本电子自旋向下的几率的表达式为_____。 【答案】

二、简答题

7． 厄米算符的本征值与本征矢分别具有什么性质？

【答案】本征值为实数，本征矢为正交、归一和完备的函数系。

8． 波函数是否描述同一状态？

【答案】

与描写的相对概率分布完全相同，描写的是同一状态。

9． 写出电子在外电磁场中的哈密顿量。 【答案】

10．完全描述电子运动的旋量波函数为

分别表示什么样的物理意义。

【答案

】

表示电子自旋向

下

表示电子自旋向上

的几率。

位置

在

处的几率密度

；

试述

及

11．坐标分量算符与动量分量算符的对易关系是什么？并写出两者满足的测不准关系。 【答案】对易关系为

测不准关系为

12．自旋可以在坐标表象中表示吗？

【答案】自旋是内禀角动量，与空间运动无关，故不能在坐标空间表示出来。

13．分别写出非简并态的一级、二级能量修正表达式。 【答案】

14．反常塞曼效应的特点，引起的原因。 【答案】原因如下：

（1）碱金属原子能级偶数分裂； （2）光谱线偶数条；

（3）分裂能级间距与能级有关； （4）由于电子具有自旋。

三、计算题

15．平面转子的转动惯量为I ，设绕z 轴转动，受到态能量的一级近似。

【答案】受到微扰之前，系统波函数为

对应能量为

的微扰作用，求体系激发定

对于所有激发态能级，其简并度为二.

设容易得到则

于是有方程

再由久期方程

解得:

对应零级近似波函数为

故体系激发态定态能量的一级近似为：

即能级简并消失了，每个激发态能级都分裂成了两个能级。

16．给定方向的单位矢量：

而为Pauli 矩阵算符，定义算符（1）计算在（2）设

在

为

【答案】（1）

表象中：

设

本征值为

本征函数为

则:

解得：

表象中的本征态：

计算在该态上测量

所得的可能测量值及相应几率。

的本征值和本征函数。