2017年华东理工大学理学院818量子力学考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1. 粒子自旋处于
的本征态
【答案】易知但是
,(常数)
同理,可得
因此:
2. 假设A 、B 、C 是三个矩阵,证明【答案】
所以
所以有:
试证明
的不确定关系
:
二、计算题
3. 设无外势场时,质量为能量为E >0的粒子的状态用球面波描写. 试 (1)导出决定S 波(1=0)波函数的常微分方程; (2)求出所有S 波的球面波波函数;
(3)计算对应于S 波解的速度流矢量并作出图示.[南京大学2009研] 【答案】(1)无外势场可看做有心势场的特殊情况. 则粒子在球坐标系中薛定谔方程为
在s 波情况下,令则(2)
故对应波函数为
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其中A 为归一化系数. (3)概率概率流密度公式为球坐标系中
明显与角度无关,故对应概率流密度的三个分量为
而同理
故
4. —质量为m 的粒子限制在宽度为2L 的无限深势阱当中运动. 势阱为现在势阱的底部加一微扰态的能量。
【答案】未施加微扰前,粒子本征波函数以及相应本证能量为
显然为非简并态。
微扰为
故
由
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其中试利用一阶微扰理论计算第n 激发
故激发态的一级近似能量为
5. 一粒子在力学量的三个本征函数
所张成的三维子空间中运动,其
能量算符和另一力学量算符的形式如(1)求的本征值和相应的归一化本征矢(用(2)证明的平均值不随时间变化. 【答案】(1)由
令
可得
其中a , b为实数。 表示):
由久期方程可得:解得能量算符的三个本征值将
式中各个值代入式中可以得到
其中k
为
的平均值,而
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