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2017年华东理工大学理学院818量子力学考研冲刺密押题

  摘要

一、证明题

1. 粒子自旋处于

的本征态

【答案】易知但是

,(常数)

同理,可得

因此:

2. 假设A 、B 、C 是三个矩阵,证明【答案】

所以

所以有:

试证明

的不确定关系

二、计算题

3. 设无外势场时,质量为能量为E >0的粒子的状态用球面波描写. 试 (1)导出决定S 波(1=0)波函数的常微分方程; (2)求出所有S 波的球面波波函数;

(3)计算对应于S 波解的速度流矢量并作出图示.[南京大学2009研] 【答案】(1)无外势场可看做有心势场的特殊情况. 则粒子在球坐标系中薛定谔方程为

在s 波情况下,令则(2)

故对应波函数为

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其中A 为归一化系数. (3)概率概率流密度公式为球坐标系中

明显与角度无关,故对应概率流密度的三个分量为

而同理

4. —质量为m 的粒子限制在宽度为2L 的无限深势阱当中运动. 势阱为现在势阱的底部加一微扰态的能量。

【答案】未施加微扰前,粒子本征波函数以及相应本证能量为

显然为非简并态。

微扰为

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其中试利用一阶微扰理论计算第n 激发

故激发态的一级近似能量为

5. 一粒子在力学量的三个本征函数

所张成的三维子空间中运动,其

能量算符和另一力学量算符的形式如(1)求的本征值和相应的归一化本征矢(用(2)证明的平均值不随时间变化. 【答案】(1)由

可得

其中a , b为实数。 表示):

由久期方程可得:解得能量算符的三个本征值将

式中各个值代入式中可以得到

其中k

的平均值,而

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