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一、证明题

1． 假设A 、B 、C 是三个矩阵，证明【答案】

2． 处于某种量子环境下的电子的哈密顿量具有如下形式：

其中，m 是电子质量，【答案】体系哈密顿量：

其中，显然有

设：

于是有：

其中：

同理，有:

因此，有：

利用类似的方法，可得：

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所以

为电子动量算符，算符定义为且和B 都

为实常数，证明电子角动量算符的分量为该体系的守恒量。

因此，有：

综上所述，可以得到

也即

故为体系守恒量，得证。

二、计算题

3． 求一宽度为a 且关于原点对称的一维无限深势阱中粒子的坐标在能量表象中的矩阵元. 【提示：

【答案】【注：题中所给积化和差公式有误，正确的积化和差公式为在势阱内有定态方程

处于定态时有

则有

由于势函数满足（1）满足偶宇称时有则

设

则波函数满足奇宇称或偶宇称.

注意到①有

有

注意到波函数乘以一个常数描述的仍为同一个状态，则（2）同理，对奇宇称有

】

】

再考虑到归一化条件

综合（1）（2

）讨论有波函数

本征能量矩阵元即

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若m=n, 可得到若

则可得到

4． 简述能量的测不准关系。

【答案】能量测不准关系的数学表示式为

即微观粒子的能量与时间不可能同时进行

准确的测量，其中一项测量的越精确，另一项的不确定程度越大。

5． 对于角动量算符

（a ）在直角坐标系中，推导各分量之间的对易关系，并归纳出统一的表达式. （b ）定义升降算符态，则

也是

利用对易关系

的本征态.

同理可得则

其

中

是

符号

，

的三个分量之间的关系通式为

：

（b ）

若f 是

的共同本征函数，可设

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证明：若f 是的共同本征

（c ）在球坐标系中，求解的本征方程. 【答案】（a ）由