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一、计算题

1． 等直圆轴的截面形状分别如图1所示，实心圆轴的直径d=60mm，空心圆轴的内、外径分别为d 0=40 mm、D 0=80mm。材料可视为弹性-理想塑性，其剪切屈服极限τs =160 MPa。试求两轴的极限扭矩。

图

1

图2

【答案】当轴处于完全塑性状态时的扭矩即为极限扭矩，此时两轴横截面上的应力分布如图2所示。实心轴的极限扭矩:

空心圆轴的极限扭矩:

2． 构件上某点单元立方体的应力状态如图所示（应力单位为MPa ）。材料的弹性模量E=200GPa，泊松比为μ=0.3，试求:（l ）三个主应力; （2）最大剪应力; （3）三个主应变; （4）体积应变; （5） 分别按最大拉应 力理论，最大拉应变理论，最大剪应力理论及形状改变比能量理论求相当应力。

图

【答案】（l ）对于图示应力状态，己知σz 为主应力，其他两个主应力可由xy 平面内的σx ，τxy ，σ

y$求出。

由公式

可得：σ＇=110Mpa，σ〞=10Mpa 于是三个主应力为:

（2）最大剪应力:

（3）三个主应变 由广义胡克定律得:

同理：（4）体积应变:

（5）①最大拉应力理论:②最大拉应变理论:

③最大剪应力理论:σr3=σ1-σ3=100MPa ④形状改变比能量理论:

3． （1）试证明受轴向拉伸（压缩）的圆截面杆横截面沿圆周方向的线应变应变

。

等于直径方向的线

（2）一根直径为d=10mm的圆截面杆，在轴向拉力F 作用下，直径减小0.0025mm 。如材料的弹性模量E =210GPa，泊松比v=0.3。试求轴向拉力F 。

（3）空心圆截面钢杆，外直径D=120mm，内直径d=60Inln，材料的泊松比v=0.3。当其受轴向拉伸时， 己知纵向线变ε=0.001，试求其变形后的壁厚δ。 【答案】（l ）设杆横截面的直径为d ，其周线的长度:由线应变的定义可知，圆截面杆沿直径方向的线应变为线的长度为

。

因此，沿圆周方向的线应变为:

即受轴向拉伸（压缩）的圆截面杆横截面沿圆周方向的线应变εz 等于沿直径方向的线应变εd 。 （2）杆件横向线应变为:

由泊松比的定义式可知

，则杆件的纵向应变为:

又由胡克定律

，则轴向拉力为:

（3）由泊松比的定义及线应变的定义可知:则圆截面杆件直径的变化量:

故其变形后的壁厚:

，当直径的改变量为Δd 时，圆周