● 摘要
广义线性互补问题来源于工程物理、力学、运筹学和经济等领域，在经济平衡、非协作竞赛、交通分配等问题中有重要应用，而且与变分不等式、双线性规划和非线性方程组有着紧密联系，因此研究它的求解方法具有一定的实际意义和理论价值。 近年来，人们对广义线性互补问题提出了许多算法，但这些方法基本上属于传统的迭代法，由于它们的计算时间极大地依赖于问题的规模、维数以及所使用的算法，因此很难满足实时并行的要求。与传统数值方法不同，由于内在的并行分布处理信息的特点及电路实现的潜能，神经网络有着许多计算上的优势和实时性的应用。自Hopfield提出著名的人工神经网络模型－H0pfield神经网络，并将其成功应用于优化问题后，用神经网络求解优化问题得到了相当深入的研究；并取得了许多重要的成果。 本文研究了两类广义线性互补问题。根据问题的特点，分别给出了求解它们的神经网络模型，建立了网络模型的平衡点与原问题解之间的关系，并证明了网络模型的稳定性和收敛性。全文共分三章。 第一章介绍了两类广义线性互补问题的研究现状，以及神经网络的基本特征、研究进展和相关的基本理论知识，最后概括了本文的主要工作。 第二章讨论了第一类广义线性互补问题，对矩阵N＝0和R=0的情形，分别采用非梯度法和梯度法构造求解它们的神经网络模型，并运用Lyapunov稳定性理论和LaSalle不变原理，严格证明了网络模型是Lyapun0v稳定的，而且全局收敛于原问题的一个精确最优解或原问题的解集。N=0的网络模型可以用来求解线性互补问题，它比已有模型简单。另外，它包括了求解约束二次规划问题的网络模型。 第三章考虑了第二类广义线性互补问题，讨论了它的五种情形：问题的一般形式，水平线性互补问题，垂直线性互补问题，混合线性互补问题和Ye的广义线性互补问题。利用Fischer-Burmeister函数分别将它们转化为无约束优化问题，然后基于梯度法构造神经网络模型。在行P_0或行充分性质的条件下，建立了网络的平衡点与原问题解之间的关系。推广了R_0性质的定义，并证明无约束优化问题目标函数的水平集的有界性与矩阵对的R_0性质是等价的。最后运用Lyapun0v稳定性理论和LaSalle不变原理，严格分析了网络模型的稳定性和收敛性。这些模型推广了求解线性互补问题的一类梯度神经网络模型。 与传统数值方法相比，这些模型不含参数，而且可用电路实现，能够实时并行求解这两类广义线性互补问题。数值实验表明这些网络模型不仅可行，而且非常有效。