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题目:一类未搅拌Chemostat模型解的性质

关键词:Chemostat,极值,分歧,稳定,长期行为

  摘要

Chemostat又叫恒化器,是一个用来培养单种或多种微生物种群的培养器。在这个培养器中,营养物从一端以一定的比率连续输入,同时又 和代谢中的副产物及微生物从另一端以相同的比率连续流出以保持其容量不变。恒化器中营养的输入和流出近似模拟了自然界的连续代谢作用 ,流出的微生物相当于自然界中常常发生的物种非自然死亡或迁出。因此在微生物学和种群生物学的研究中,利用恒化器连续培养微生物是一 项重要的研究手段,对生态系统(特别是水生生态系统)的管理,预测和环境污染的治理等方面都有重要的应用。William曾指出 在微生物种群研究中,利用恒化器培养微生物可能是对自然界理想化的最好实验方法。   本文讨论了一类带有Beddington-DeAngelis型功能反应函数的非均匀的Chemo-stat模型,系统中包含了两个相互竞争的微生物和一个有限 增长的营养物,在t时刻,x点处的浓度分别用u(x,t),v(x,t),s(x,t)来表示,这样,模型由一组反应扩散方程来描述:〓 边界条件为〓 初始条件为〓 其中〓 是Beddington-DeAngelis型功能反应函数,它类似于Holling Ⅱ函数,只是在分母中多加了一项β_1u或者β_2v,它们表示种内的相互影响。 参数m_i,k_i,β_i,i=1,2均为正常数。   文章分为两部分从两个方面来讨论上述模型。   第一部分讨论了(1)-(3)的平衡态系统。利用上下解方法,极值原理首先给出正平衡解的一些估计。然后利用starm型特征值和全局分 歧理论研究了共存解的全局结构。证明了系统在半平凡解(θ,0)附近出现正解分支,同时分析出该正解分支在〓处连接半平凡解(0,θ) ,且这个点是唯一确定的。运用线性算子的扰动理论和分歧解的稳定性理论得到分歧点附近正平衡解的稳定性情况。在最后文中作了一些数值 模拟对这部分内容进行了验证和补充。   第二部分讨论了(1)-(3)的含时间t的解的长期行为。利用抛物型方程的比较原理,正则化理论及Lyapunov函数,首先得到单个物种长 时间后生长和消亡的充分条件。同时在第一章的基础上得到(1)-(3)的极限系统,其中z(x)=s(x)+u(x)+v(x),(S(x),u(x) ,v(x))是(1)-(3)的平衡解。通过对(4)进行必要的先验估计,最后证明了该极限系统在一定条件下有一个全局吸引子。