2017年陕西师范大学数学与信息科学学院826高等代数考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于哪一类。如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续:
（1）（2）（3）（4）
【答案】（1）对x=1，因为f （1）无定义，但
，重新定义函数:
所以x=l为第一类间断点（可去间断点）
则f l （x ）在x=1处连续。 因为
，所以x=2为第二类间断点（无穷间断点）.
，所以x=0为第一类间断点（可去间断
（2）对x=o，因为f （0）无定义，，重新定义函数:
点）
则f 2（x ）在（3）对x=0，因为（4）对x=1，因为
但不相等，所以x=1为第一类间断点（跳跃间断点）。
注：在讨论分段函数的连续性时，在函数的分段点处，必须分别考虑函数的左连续性和右连续性，只有函数在该点既左连续，又右连续，才能得出函数在该点连续。
2． 下列各题中均假定f ’（x 0）存在，按照导数定义观察下列极限，指出A 表示什么:
（1）
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处连续。 及
均不存在，所以x=0作为第二类间断点。
即左、右极限存在，
（2）（3）【（2）由于
答
，其中，且存在。
案
，故
】（1
）
（3）
3． 设有摆线
试求：
（1）L 绕x 轴旋转一周所得旋转面的面积； （2）L 上任意点处的曲率； （3）L 与x 轴所围平面图形的形心【答案】（1）由于则该旋转面的面积为
。
，
由曲率公式，L 上任意点处的曲率为
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（3）由平面图形的形心公式，有
当
时
对应
，相应地
，则
因此
。
。
由对称性知，x=0。故求平面图形的质心为
4． 由y=8, x=2, y=0所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得旋转体体积。
【答案】（1）图形绕x 轴旋转，该体积为Y 轴所得的立体）减去由曲线
5． 求曲线
【答案】
，即2x-y=0，法线方程为（x-0）
6． 已知物体的运动规律为
【答案】
；
（2）图形绕y 轴旋转，则该立体可看作圆柱体（即由x=2，y=8，x=0，y=0所围成的图形绕
，y=8，x=0所围成的图形绕y 轴所得的立体，因此体积为
上横坐标为x=0的点处的切线方程和法线方程。
0），因此曲线在点（0，处的切线方程为y-0=2，即x+2y=0。
，求这物体在t=2（s ）时的速度。
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