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一、计算题

1． 求由下列曲线所围成的闭区域D 的面积:

（1）D

是由曲线域;

（2）D 是由曲线

【答案】（l ）令与D 对应的

平面上的闭区域为

，则

。在这变换下，。

所围成的第一象限部分的闭区域.

所围成的第一象限部分的闭区

于是所求面积为

（2

）令

这变换下，与D 对应的

，

则

平面上的闭区域为

。在。又

于是所求面积为

2． 一链条悬挂在一钉子上，起动时一端离开钉子8m ，另一端离开钉子12m ，分别在以下两种情况下求链 条滑下来所需要的时间:

（l ）若不计钉子对链条所产生的摩擦力; （2）若摩擦力为lm 长的链条的重量.

【答案】设链条的线密度为，则另一端离钉子离钉子x=x（t ）

即

解

得

又

将

，代入初始条件），取

则链条的质量为，当t=0时，x=12. （如图）

又设在时刻t ，链条的一端

按牛顿定律，有

由特征方

程

即故

（或

）

求得方程通

解

（或即

（1）若不计摩擦力，则运动过程中的链条所受力的大小为

且有初始条

件代入方程，

得

得

x=20，

得

（2）摩擦力为1m 长链条的重量即为偌，则运动过程中的链条所受力大小

为

按牛顿定律，有

且有初始条件

满足该条件的特解为

取x=20, 得

即

3． 求空间曲线积分

交线，从x 轴正向看去取逆时针方向。

【答案】解法一：L

的方程是

L 的参数方程是

即

，其中L 是圆柱面与平面的

按L 的定向t 从0到2π，于是代公式得

其中

解法二：L 是空间中的平面曲线，可用斯托克斯公式转化为求平面上的曲面积分。 圆柱面所截平面y=z-1

部分记为化为上的第二类曲面积分，有

，按右手法则取上侧，用斯托克斯公式，将曲线积分，J

在xy 平面的投影区域易求，即

将此曲面积分J 投影到xy 平面化为二重积分，则

。

的方程为

解法三：L 是母线平行于z 轴的柱面与平面的交线，可投影到xy 平面上，然后用格林公式。由L 的方程

，L 在xy 平面上的投影曲线记为

，相应

地也取逆时针方向，于是代入积分表达式得

其中D xy ，

是所围的圆域。

4． 判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集? 并分别指出它们的聚点所成的点集（称为导集）和边界.

（1） （2） （3）

;

; ;